Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem42 40781
Description: This lemma is used to prove that 𝑥 built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here 𝑋 is used to represent 𝑥 in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1 𝑖𝜑
stoweidlem42.2 𝑡𝜑
stoweidlem42.3 𝑡𝑌
stoweidlem42.4 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
stoweidlem42.5 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑀)
stoweidlem42.6 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem42.7 𝑍 = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
stoweidlem42.8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem42.9 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
stoweidlem42.10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
stoweidlem42.11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem42.12 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem42.13 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem42.14 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
stoweidlem42.15 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem42.16 (𝜑𝐵𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42 (𝜑 → ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑖,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑖,𝐸   𝑈,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐸(𝑡,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝑀(𝑡)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑌(𝑡,𝑖)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables 𝑎 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2 𝑡𝜑
2 1red 10268 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
43rpred 12086 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10671 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
65adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
84, 7nndivred 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 10671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
117nnnn0d 11564 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1310, 12reexpcld 13240 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) ∈ ℝ)
14 elnnuz 11938 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
157, 14sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
1615adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝜑
18 nfv 1993 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑡𝐵
1917, 18nfan 1978 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑𝑡𝐵)
20 nfv 1993 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑎 ∈ (1...𝑀)
2119, 20nfan 1978 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀))
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
23 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖𝑇
24 nfmpt1 4900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡))
2523, 24nfmpt 4899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
2622, 25nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝐹
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑡
2826, 27nffv 6361 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝐹𝑡)
29 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝑎
3028, 29nffv 6361 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝐹𝑡)‘𝑎)
3130nfel1 2918 . . . . . . . . 9 𝑖((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ
3221, 31nfim 1975 . . . . . . . 8 𝑖(((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)
33 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (1...𝑀)))
3433anbi2d 742 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀))))
35 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐹𝑡)‘𝑖) = ((𝐹𝑡)‘𝑎))
3635eleq1d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ))
3734, 36imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)))
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑇)
3938sselda 3745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑡𝑇)
40 ovex 6843 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ∈ V
41 mptexg 6650 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ∈ V → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V)
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V)
4322fvmpt2 6455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
4439, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
4645ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖) ∈ 𝑌)
47 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
4847, 46jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌))
49 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (𝑓𝑌 ↔ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌))
5049anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑈𝑖) → ((𝜑𝑓𝑌) ↔ (𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌)))
51 feq1 6188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ))
5250, 51imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)))
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5452, 53vtoclg 3407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈𝑖) ∈ 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ))
5546, 48, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)
5655adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)
5739adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡𝑇)
5856, 57ffvelrnd 6525 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑈𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
5944, 58fvmpt2d 6457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) = ((𝑈𝑖)‘𝑡))
6059, 58eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ)
6132, 37, 60chvar 2408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)
62 remulcl 10234 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
6362adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
6416, 61, 63seqcl 13036 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀) ∈ ℝ)
653rpcnd 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
667nncnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
677nnne0d 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6865, 66, 67divcan1d 11015 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = 𝐸)
6968eqcomd 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7069oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝐸) = (1 − ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
71 1cnd 10269 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7265, 66, 67divcld 11014 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ∈ ℂ)
7372, 66mulcld 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
7471, 73negsubd 10611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) = (1 − ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
7572, 66mulneg1d 10696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7675eqcomd 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7776oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
7870, 74, 773eqtr2d 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐸) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
798renegcld 10670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
807nnred 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
81 3re 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
83 3ne0 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ≠ 0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ≠ 0)
8582, 84rereccld 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
87 1lt3 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 3)
89 0lt1 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 1)
91 3pos 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 3)
93 ltdiv2 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
9588, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 / 3) < (1 / 1))
96 1div1e1 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 1) = 1
9795, 96syl6breq 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / 3) < 1)
984, 85, 2, 86, 97lttrd 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 < 1)
997nnge1d 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 10410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 < 𝑀)
1014, 80, 100ltled 10398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸𝑀)
1023rpregt0d 12092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
1037nngt0d 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑀)
104 lediv2 11126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (𝐸𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸)))
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸)))
106101, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸))
1073rpcnne0d 12095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
108 divid 10927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸 / 𝐸) = 1)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝐸) = 1)
110106, 109breqtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ 1)
1118, 2lenegd 10819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀)))
112110, 111mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀))
113 bernneq 13205 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀)) → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11479, 11, 112, 113syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11571, 72negsubd 10611 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + -(𝐸 / 𝑀)) = (1 − (𝐸 / 𝑀)))
116115oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀) = ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
117114, 116breqtrd 4831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11878, 117eqbrtrd 4827 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐸) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
119118adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
120 eqid 2761 . . . . . . 7 seq1( · , (𝐹𝑡)) = seq1( · , (𝐹𝑡))
1217adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ ℕ)
122 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡))
12319, 58, 122fmptdf 6552 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)):(1...𝑀)⟶ℝ)
12444feq1d 6192 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐵) → ((𝐹𝑡):(1...𝑀)⟶ℝ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)):(1...𝑀)⟶ℝ))
125123, 124mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐹𝑡):(1...𝑀)⟶ℝ)
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
127126r19.21bi 3071 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
128127an32s 881 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
129128, 59breqtrrd 4833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝐹𝑡)‘𝑖))
13072addid2d 10450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + (𝐸 / 𝑀)) = (𝐸 / 𝑀))
131 lediv2 11126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1)))
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1)))
13399, 132mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1))
13465div1d 11006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 / 1) = 𝐸)
135133, 134breqtrd 4831 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ 𝐸)
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 10408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) < 1)
137130, 136eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1)
138 0red 10254 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
139138, 8, 2ltaddsubd 10840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝐸 / 𝑀))))
140137, 139mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 − (𝐸 / 𝑀)))
1419, 140elrpd 12083 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
142141adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 40742 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) < (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 10408 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7 𝑍 = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
146145fvmpt2 6455 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ∧ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀) ∈ ℝ) → (𝑍𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
14739, 64, 146syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑍𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
148144, 147breqtrrd 4833 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (𝑍𝑡))
149 simpl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝜑)
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6 𝑡𝑌
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑀)
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 40337 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑋𝑡) = (𝑍𝑡))
156149, 39, 155syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑋𝑡) = (𝑍𝑡))
157148, 156breqtrrd 4833 . . 3 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
158157ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑡𝐵 → (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡)))
1591, 158ralrimi 3096 1 (𝜑 → ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2140  wnfc 2890  wne 2933  wral 3051  Vcvv 3341  wss 3716   class class class wbr 4805  cmpt 4882  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  3c3 11284  0cn0 11505  cuz 11900  +crp 12046  ...cfz 12540  seqcseq 13016  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  40790
  Copyright terms: Public domain W3C validator