Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 40564
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 𝑡𝐹
stoweidlem29.2 𝑡𝜑
stoweidlem29.3 𝑇 = 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2651 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 39498 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 df-f 5930 . . . . 5 (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
75, 6sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
87simprd 478 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
97simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 6026 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → Fun 𝐹)
13 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑇⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑇)
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
1514eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = dom 𝐹)
1615eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇𝑠 ∈ dom 𝐹))
1716biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
18 fvelrn 6392 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
1912, 17, 18syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝐹
21 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
2220, 21nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
2322nfeq2 2809 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 = (𝐹𝑠)
24 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2523, 24ralbid 3012 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2625rspcev 3340 . . . . . 6 (((𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
2719, 26sylan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
28 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑠𝐹
29 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑠𝑇
30 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑡𝑇
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 39488 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡))
3427, 33r19.29a 3107 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
35 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
36 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
379ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑦
3930, 38, 20fvelrnbf 39491 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
4136, 40mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦)
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝜑
43 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)
4442, 43nfan 1868 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
4520nfrn 5400 . . . . . . . . . . . 12 𝑡ran 𝐹
4645nfcri 2787 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
4744, 46nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
48 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥𝑦
49 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
50 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ 𝑥𝑦))
5149, 50syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5251ex 449 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5352ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5447, 48, 53rexlimd 3055 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5541, 54mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥𝑦)
5655ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑥𝑦))
5735, 56ralrimi 2986 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
5857ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
5958reximdv 3045 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
6034, 59mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
61 lbinfcl 11015 . . 3 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 60, 61syl2anc 694 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
638, 62sseldd 3637 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
648adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
6560adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
66 dffn3 6092 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
679, 66sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
6867ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
69 lbinfle 11016 . . . . 5 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7064, 65, 68, 69syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7170ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
7242, 71ralrimi 2986 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7362, 63, 723jca 1261 1 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213  topGenctg 16145   Cn ccn 21076  Compccmp 21237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  40597
  Copyright terms: Public domain W3C validator