Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem25 40764
Description: This lemma proves that for n sufficiently large, qn( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem25.1 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem25.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
stoweidlem25.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) < 𝐸)
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25
StepHypRef Expression
1 eldifi 3876 . . 3 (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑡𝑇)
2 stoweidlem25.1 . . . . 5 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
3 stoweidlem25.6 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
4 stoweidlem25.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11564 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 stoweidlem25.3 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11564 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
82, 3, 5, 7stoweidlem12 40751 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
9 1red 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
103ffvelrnda 6524 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
115adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11reexpcld 13240 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
139, 12resubcld 10671 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
146, 5nnexpcld 13245 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1713, 16reexpcld 13240 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
188, 17eqeltrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) ∈ ℝ)
191, 18sylan2 492 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) ∈ ℝ)
206nnred 11248 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
21 stoweidlem25.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2221rpred 12086 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10283 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
2423, 5reexpcld 13240 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
256nncnd 11249 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
266nnne0d 11278 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
2721rpcnne0d 12095 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28 mulne0 10882 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
2925, 26, 27, 28syl21anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
3021rpcnd 12088 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3125, 30mulcld 10273 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32 expne0 13106 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
3331, 4, 32syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
3429, 33mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
3524, 34rereccld 11065 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3635adantr 472 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37 stoweidlem25.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3837rpred 12086 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3938adantr 472 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
401, 8sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
414adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
426adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4321adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
443adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
451adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑡𝑇)
4644, 45ffvelrnd 6525 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
47 0red 10254 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
4822adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4921rpgt0d 12089 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5049adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < 𝐷)
51 stoweidlem25.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
5251r19.21bi 3071 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
5347, 48, 46, 50, 52ltletrd 10410 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑡))
5446, 53elrpd 12083 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ+)
55 stoweidlem25.7 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
5655adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
57 rsp 3068 . . . . . 6 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1) → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1)))
5856, 45, 57sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
5958simpld 477 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
6058simprd 482 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ≤ 1)
6141, 42, 43, 54, 59, 60, 52stoweidlem1 40740 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
6240, 61eqbrtrd 4827 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63 stoweidlem25.11 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
6463adantr 472 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
6519, 36, 39, 62, 64lelttrd 10408 1 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  cdif 3713   class class class wbr 4805  cmpt 4882  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  0cn0 11505  +crp 12046  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  40784
  Copyright terms: Public domain W3C validator