Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem23 40558
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1 𝑡𝜑
stoweidlem23.2 𝑡𝐺
stoweidlem23.3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
stoweidlem23.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem23.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.7 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem23.8 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem23.9 (𝜑𝐺𝐴)
stoweidlem23.10 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑇   𝑡,𝑆   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
2 stoweidlem23.1 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
43ancli 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝐺𝐴))
5 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
65anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
7 feq1 6064 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
86, 7imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
108, 9vtoclg 3297 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1312recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑇)
1511, 14ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
1813, 17negsubd 10436 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
192, 18mpteq2da 4776 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))))
20 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2115renegcld 10495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
23 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
2423fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2520, 22, 24syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2625oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)))
272, 26mpteq2da 4776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))))
2821ancli 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
29 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
3029anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)))
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐺
32 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑍
3331, 32nffv 6236 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐺𝑍)
3433nfneg 10315 . . . . . . . . . . . 12 𝑡-(𝐺𝑍)
3534nfeq2 2809 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑥 = -(𝐺𝑍)
36 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = -(𝐺𝑍) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 = -(𝐺𝑍))
3735, 36mpteq2da 4776 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)))
3837eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
3930, 38imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)))
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4139, 40vtoclg 3297 . . . . . . 7 (-(𝐺𝑍) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
4221, 28, 41sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 4780 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
4543, 31, 44stoweidlem8 40543 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
463, 42, 45mpd3an23 1466 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
4727, 46eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
4819, 47eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
491, 48syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝐻𝐴)
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
5111, 50ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
5251recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℂ)
5315recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
54 stoweidlem23.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
5552, 53, 54subne0d 10439 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ≠ 0)
5651, 15resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
57 nfcv 2793 . . . . 5 𝑡𝑆
5831, 57nffv 6236 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
59 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑡
6058, 59, 33nfov 6716 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍))
61 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
6261oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6357, 60, 62, 1fvmptf 6340 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6450, 56, 63syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6515, 15resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
6633, 59, 33nfov 6716 . . . . . 6 𝑡((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍))
67 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
6867oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
6932, 66, 68, 1fvmptf 6340 . . . . 5 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7014, 65, 69syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7153subidd 10418 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) = 0)
7270, 71eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
7355, 64, 723netr4d 2900 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍))
7449, 73, 723jca 1261 1 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wne 2823  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator