Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 40556
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 𝑡𝐺
stoweidlem21.2 𝑡𝐻
stoweidlem21.3 𝑡𝑆
stoweidlem21.4 𝑡𝜑
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.11 (𝜑𝐻𝐴)
stoweidlem21.12 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   𝑥,𝑡,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑡,𝑓)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 6508 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
53, 4sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
65eqcomd 2657 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 = ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))
76oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) = ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡)))
82, 7mpteq2da 4776 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
91, 8syl5eq 2697 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
11 fconstmpt 5197 . . . . . 6 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑠𝑇𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 𝑡𝑆
13 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑠𝑆
14 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 4782 . . . . . 6 (𝑠𝑇𝑆) = (𝑡𝑇𝑆)
1611, 15eqtri 2673 . . . . 5 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑡𝑇𝑆)
1712nfeq2 2809 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥 = 𝑆
18 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑆𝑡𝑇) → 𝑥 = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 4776 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑆 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇𝑆))
2019eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → ((𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322expcom 450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3303 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 𝑡𝐻
29 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑡𝑇
3012nfsn 4274 . . . . . 6 𝑡{𝑆}
3129, 30nfxp 5176 . . . . 5 𝑡(𝑇 × {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 40543 . . . 4 ((𝜑𝐻𝐴 ∧ (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1466 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2730 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
35 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
37 feq1 6064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐻:𝑇⟶ℝ))
3837rspccva 3339 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝐻𝐴) → 𝐻:𝑇⟶ℝ)
3936, 10, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝑇⟶ℝ)
4039ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 10107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4544oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
4640recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4847ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4948recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
503recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
5246, 49, 51subsub3d 10460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
5345, 52eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)))
5453fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
5857ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 2986 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 𝑡𝐺
6160nfeq2 2809 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6228 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑡) = (𝐺𝑡))
6362oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))
6463fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
6564breq1d 4695 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3012 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6766rspcev 3340 . 2 ((𝐺𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wral 2941  wrex 2942  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  40597
  Copyright terms: Public domain W3C validator