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Theorem stoweidlem14 39994
Description: There exists a 𝑘 as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑘 is an integer and 1 < k * δ < 2. 𝐷 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
stoweidlem14.2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem14.3 (𝜑𝐷 < 1)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
2 ssrab2 3679 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ)
41, 3syl5eqss 3641 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
65rprecred 11868 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
7 arch 11274 . . . . . 6 ((1 / 𝐷) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘)
8 breq2 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑘))
98elrab 3357 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
109biimpri 218 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗})
1110, 1syl6eleqr 2710 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘𝐴)
12 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
1311, 12jca 554 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (𝑘𝐴 ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
1413reximi2 3007 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘 → ∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘)
15 rexn0 4065 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘𝐴 ≠ ∅)
166, 7, 14, 154syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
17 nnwo 11738 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
184, 16, 17syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
19 df-rex 2915 . . . 4 (∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
2018, 19sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
218, 1elrab2 3360 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
2221simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝜑)
25 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘𝐴)
26 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
27 nfcv 2762 . . . . . . . . 9 𝑧𝐴
28 nfrab1 3117 . . . . . . . . . 10 𝑗{𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
291, 28nfcxfr 2760 . . . . . . . . 9 𝑗𝐴
30 nfv 1841 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑧
31 nfv 1841 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑘𝑗
32 breq2 4648 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑗 → (𝑘𝑧𝑘𝑗))
3327, 29, 30, 31, 32cbvralf 3160 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3426, 33sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3521simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3635ad2antrl 763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3722ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
38 1red 10040 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
39 nnre 11012 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
415rpregt0d 11863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
43 ltdivmul2 10885 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4537, 44syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4636, 45mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
4724, 25, 34, 46syl12anc 1322 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
48 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
505rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
5251mulid2d 10043 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
5349, 52eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = 𝐷)
5453oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) = (𝐷 / 2))
555rpred 11857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5655rehalfcld 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
57 halfre 11231 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
59 1red 10040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 < 1)
61 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
63 2pos 11097 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 2)
65 ltdiv1 10872 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6655, 59, 62, 64, 65syl112anc 1328 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6760, 66mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) < (1 / 2))
68 halflt1 11235 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7056, 58, 59, 67, 69lttrd 10183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 / 2) < 1)
7170adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝐷 / 2) < 1)
7254, 71eqbrtrd 4666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
7372adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
74 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝜑)
75 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐴)
7675, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
77 neqne 2799 . . . . . . . . . 10 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
7877adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
79 eluz2b3 11747 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 1))
8076, 78, 79sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
81 peano2rem 10333 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8275, 22, 39, 814syl 19 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8355ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
845rpne0d 11862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ≠ 0)
8584ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ≠ 0)
8683, 85rereccld 10837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
87 1zzd 11393 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
88 df-2 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
8988fveq2i 6181 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
9089eleq2i 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
91 eluzsub 11702 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
9290, 91syl3an3b 1362 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
93 nnuz 11708 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
9492, 93syl6eleqr 2710 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9587, 87, 80, 94syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9622, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℝ)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
9897, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
99 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10099ltm1d 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
101 ltnle 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
102100, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
10398, 97, 102syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
104 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (𝑘𝑧𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
105104notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
106105rspcev 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
107103, 106syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
108 rexnal 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
109107, 108sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
110109ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → (𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
111 imnan 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) ↔ ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
112110, 111sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
113112con2i 134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
114113ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
115 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
116115, 1elrab2 3360 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
117114, 116sylnib 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
118 ianor 509 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
119117, 118sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
120 imor 428 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
121119, 120sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
12295, 121mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1))
12382, 86, 122nltled 10172 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
124 eluzelre 11683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℝ)
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℝ)
127125, 126remulcld 10055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
128127rehalfcld 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1291283adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
13059, 55readdcld 10054 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
131130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
132131rehalfcld 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1331323adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
134 1red 10040 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
135 eluzelcn 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℂ)
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13750adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
1391383adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
140503ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
141139, 140npcand 10381 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) = (𝑘 · 𝐷))
142127, 126resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
1431423adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
144553ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
145 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
146 1red 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
147124, 146resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
1481473ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
14963ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
150413ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
151 lemul1 10860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
152148, 149, 150, 151syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
153145, 152mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷))
154 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℂ)
155136, 154, 137subdird 10472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)))
156137mulid2d 10043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
157156oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
158155, 157eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
1591583adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
160 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
161160, 50, 843jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
1621613ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
163 divcan1 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
165153, 159, 1643brtr3d 4675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ≤ 1)
166143, 134, 144, 165leadd1dd 10626 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
167141, 166eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
1681273adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
1691303ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
17061, 63pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
171170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
172 lediv1 10873 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
173168, 169, 171, 172syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
174167, 173mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2))
17555, 59, 59, 60ltadd2dd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + 𝐷) < (1 + 1))
176 1p1e2 11119 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
177175, 176syl6breq 4685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) < 2)
178 ltdiv1 10872 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
179130, 62, 62, 64, 178syl112anc 1328 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
180177, 179mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2))
181 2div2e1 11135 . . . . . . . . . . 11 (2 / 2) = 1
182180, 181syl6breq 4685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
1831823ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
184129, 133, 134, 174, 183lelttrd 10180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18574, 80, 123, 184syl3anc 1324 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18673, 185pm2.61dan 831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18723, 47, 186jca32 557 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
188187ex 450 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
189188eximdv 1844 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
19020, 189mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
191 df-rex 2915 . 2 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
192190, 191sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  40029
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