Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem12 40740
 Description: Lemma for stoweid 40791. This Lemma is used by other three Lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem12.1 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem12.2 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem12.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem12.4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem12
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2 1red 10256 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem12.2 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
43ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
5 stoweidlem12.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6reexpcld 13231 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10659 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
9 stoweidlem12.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
109, 5jca 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1110adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
12 nn0expcl 13080 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
148, 13reexpcld 13231 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem12.1 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
1615fvmpt2 6433 . 2 ((𝑡𝑇 ∧ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
171, 14, 16syl2anc 565 1 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 4861  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  1c1 10138   − cmin 10467  ℕ0cn0 11493  ↑cexp 13066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067 This theorem is referenced by:  stoweidlem24  40752  stoweidlem25  40753  stoweidlem45  40773
 Copyright terms: Public domain W3C validator