Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stle0i 29432
 Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stle0i (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stge0 29417 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → 0 ≤ (𝑆𝐴)))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆𝐴))
43anim2i 595 . . . 4 (((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴)))
54expcom 398 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 29409 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 0re 10241 . . . 4 0 ∈ ℝ
9 letri3 10324 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 566 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 249 . 2 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → (𝑆𝐴) = 0))
12 0le0 11311 . . 3 0 ≤ 0
13 breq1 4787 . . 3 ((𝑆𝐴) = 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
1412, 13mpbiri 248 . 2 ((𝑆𝐴) = 0 → (𝑆𝐴) ≤ 0)
1511, 14impbid1 215 1 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  ℝcr 10136  0cc0 10137   ≤ cle 10276   Cℋ cch 28120  Statescst 28153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-hilex 28190 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-icc 12386  df-sh 28398  df-ch 28412  df-st 29404 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator