Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 40801
 Description: If 𝐴 converges to 𝐶, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 𝑛𝜑
stirlinglem8.2 𝑛𝐴
stirlinglem8.3 𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem8.5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
stirlinglem8.9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 𝑛𝜑
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
3 nfmpt1 4899 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
42, 3nfcxfr 2900 . . 3 𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6 nfmpt1 4899 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
75, 6nfcxfr 2900 . . 3 𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
9 nfmpt1 4899 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
108, 9nfcxfr 2900 . . 3 𝑛𝐹
11 nnuz 11916 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11600 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
15 rrpsscn 40323 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 fss 6217 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
1714, 15, 16sylancl 697 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℂ)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
19 4nn0 11503 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
21 nnex 11218 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2221mptex 6650 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2835 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
25 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2614ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 12067 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℕ0)
2927, 28expcld 13202 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
302fvmpt2 6453 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 40340 . . 3 (𝜑𝐿 ⇝ (𝐶↑4))
3321mptex 6650 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2835 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 𝑛𝐷
3717adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
38 2nn 11377 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
4139, 40nnmulcld 11260 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4241adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4337, 42ffvelrnd 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 6550 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶ℂ)
46 nfmpt1 4899 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
47 fex 6653 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 697 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
49 1nn 11223 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
50 2cnd 11285 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 1cnd 10248 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10252 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℂ)
53 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
54 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
5553, 54fvmptg 6442 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5649, 52, 55sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5957, 58nnmulcld 11260 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℕ)
6056, 59eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) ∈ ℕ)
61 1red 10247 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
6239nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6341nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 11255 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10834 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 6453 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6741, 66mpdan 705 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6867oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
69 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
7069cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘)))
72 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 11224 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
7539, 74nnmulcld 11260 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7671, 73, 74, 75fvmptd 6450 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = (2 · (𝑛 + 1)))
77 2cnd 11285 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
78 nncn 11220 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
79 1cnd 10248 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8077, 78, 79adddid 10256 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8177mulid1d 10249 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
8281oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 4836 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)))
8541nnzd 11673 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
8667, 85eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) ∈ ℤ)
8786peano2zd 11677 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ)
8875nnzd 11673 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
8976, 88eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
90 eluz 11893 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 247 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9392adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9421mptex 6650 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 6453 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9967adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
10099eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛))
101100fveq2d 6356 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
10298, 101eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 40343 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
104 2nn0 11501 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
105104a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
10621mptex 6650 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2835 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 12067 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
111110sqcld 13200 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
1125fvmpt2 6453 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 40340 . . 3 (𝜑𝑀 ⇝ (𝐶↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 12067 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
117115rpne0d 12070 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
118 2z 11601 . . . . 5 2 ∈ ℤ
119118a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120116, 117, 119expne0d 13208 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
1211, 29, 2fmptdf 6550 . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
122121ffvelrnda 6522 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) ∈ ℂ)
123113, 111eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
12498oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
128126, 127rpexpcld 13226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 12070 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ≠ 0)
131130neneqd 2937 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) = 0)
132 0cn 10224 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
133 elsn2g 4355 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0)
135131, 134sylnibr 318 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3726 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13728nn0zd 11672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℤ)
13826, 137rpexpcld 13226 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 13226 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 12082 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 6453 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
1432fvmpt2 6453 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
145144, 113oveq12d 6831 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2797 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 40347 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
148 2cn 11283 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
149 2p2e4 11336 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 10491 . . . . 5 2 = (4 − 2)
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 = (4 − 2))
152151oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶↑(4 − 2)))
15320nn0zd 11672 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
154116, 117, 119, 153expsubd 13213 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑(4 − 2)) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
155152, 154eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
156147, 155breqtrrd 4832 1 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139  Ⅎwnfc 2889  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  4c4 11264  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025  ↑cexp 13054   ⇝ cli 14414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882 This theorem is referenced by:  stirlinglem15  40808
 Copyright terms: Public domain W3C validator