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Theorem stirlinglem5 40613
Description: If 𝑇 is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.2 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
stirlinglem5.3 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
stirlinglem5.5 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
stirlinglem5.6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
stirlinglem5.7 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑇,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
5 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
65negcld 10417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
7 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
96, 8expcld 13048 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
10 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1312rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1413recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
16 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1815, 17expcld 13048 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) ∈ ℂ)
19 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
219, 11, 18, 20div32d 10862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
225, 15pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((1 + 𝑇) − 1) = 𝑇)
2322eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 = ((1 + 𝑇) − 1))
2423oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) = (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))
2524oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2621, 25eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2726mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
284, 27eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
2928seqeq3d 12849 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))))
30 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3130, 14addcld 10097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℂ)
32 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 22621 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
3430, 31, 33syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
35 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3736oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (0 − 𝑇))
3830, 30, 14subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (1 − (1 + 𝑇)))
39 df-neg 10307 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑇 = (0 − 𝑇)
4039eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (0 − 𝑇) = -𝑇
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 𝑇) = -𝑇)
4237, 38, 413eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (1 + 𝑇)) = -𝑇)
4342fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) = (abs‘-𝑇))
4414absnegd 14232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝑇) = (abs‘𝑇))
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
4644, 45eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-𝑇) < 1)
4743, 46eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) < 1)
4834, 47eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1)
49 cnxmet 22623 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5251rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
53 elbl2 22242 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ)) → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5548, 54mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
56 eqid 2651 . . . . . . . 8 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
5756logtayl2 24453 . . . . . . 7 ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5855, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5929, 58eqbrtrd 4707 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
60 seqex 12843 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
6463seqeq3d 12849 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
65 logtayl 24451 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑇) < 1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6614, 45, 65syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6764, 66eqbrtrd 4707 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
68 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6968, 1syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
703a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
71 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
7271oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
73 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑇𝑗) = (𝑇𝑛))
74 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛𝑗 = 𝑛)
7573, 74oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
7672, 75oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
7776adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
78 elfznn 12408 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7978adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
80 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8180negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
82 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8381, 82expcld 13048 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8479, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8514ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑇 ∈ ℂ)
8679nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8785, 86expcld 13048 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
8879nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℂ)
8979nnne0d 11103 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ≠ 0)
9087, 88, 89divcld 10839 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
9184, 90mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
9270, 77, 79, 91fvmptd 6327 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
9392, 91eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
94 addcl 10056 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9594adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9669, 93, 95seqcl 12861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐷)‘𝑘) ∈ ℂ)
9762a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
9875adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
9997, 98, 79, 90fvmptd 6327 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
10099, 90eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
10169, 100, 95seqcl 12861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐸)‘𝑘) ∈ ℂ)
102 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
103 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
10576, 75oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
106105adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
107 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10883adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10914adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
110107nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
111109, 110expcld 13048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
112107nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
113107nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
114111, 112, 113divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
115108, 114mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
116115, 114addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
117104, 106, 107, 116fvmptd 6327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
1183a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
11976adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
120118, 119, 107, 115fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
121120eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (𝐷𝑛))
12262a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
12375adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
124122, 123, 107, 114fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
125124eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) = (𝐸𝑛))
126121, 125oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
127117, 126eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
128102, 79, 127syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
12969, 93, 100, 128seradd 12883 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq1( + , 𝐷)‘𝑘) + (seq1( + , 𝐸)‘𝑘)))
1301, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129climadd 14406 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))))
131 1rp 11874 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
132131a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
133132, 12rpaddcld 11925 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℝ+)
134133rpne0d 11915 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 𝑇) ≠ 0)
13531, 134logcld 24362 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 + 𝑇)) ∈ ℂ)
13630, 14subcld 10430 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
13713, 51absltd 14212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑇) < 1 ↔ (-1 < 𝑇𝑇 < 1)))
13845, 137mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 < 𝑇𝑇 < 1))
139138simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 < 1)
14013, 139gtned 10210 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝑇)
14130, 14, 140subne0d 10439 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
142136, 141logcld 24362 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 − 𝑇)) ∈ ℂ)
143135, 142negsubd 10436 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
144130, 143breqtrd 4711 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
145 nn0uz 11760 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
146 0zd 11427 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
147 stirlinglem5.5 . . . . . 6 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
148 2nn0 11347 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
149148a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
150 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0)
151149, 150nn0mulcld 11394 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
152 nn0p1nn 11370 . . . . . . 7 ((2 · 𝑗) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
154147, 153fmpti 6423 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ℕ
155154a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ0⟶ℕ)
156 2re 11128 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
157156a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
158 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
159157, 158remulcld 10108 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
160 1red 10093 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
161158, 160readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
162157, 161remulcld 10108 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
163 2rp 11875 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
164163a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
165158ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < (𝑘 + 1))
166158, 161, 164, 165ltmul2dd 11966 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) < (2 · (𝑘 + 1)))
167159, 162, 160, 166ltadd1dd 10676 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) < ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
168147a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)))
169 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
170169oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
171170oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
172 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
173 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
174 nn0cn 11340 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
175173, 174mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
176 1cnd 10094 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
177175, 176addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
178168, 171, 172, 177fvmptd 6327 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
179 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
180179oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
181180oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
182 peano2nn0 11371 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
183174, 176addcld 10097 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
184173, 183mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
185184, 176addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℂ)
186168, 181, 182, 185fvmptd 6327 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
187167, 178, 1863brtr4d 4717 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
188187adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
189 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℕ)
190189adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ)
191 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 1 ∈ ℂ)
192191negcld 10417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -1 ∈ ℂ)
193189, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
194192, 193expcld 13048 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
195194adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
19614adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑇 ∈ ℂ)
197190nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
198196, 197expcld 13048 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
199190nncnd 11074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℂ)
200190nnne0d 11103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ≠ 0)
201198, 199, 200divcld 10839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
202195, 201mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
203202, 201addcld 10097 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
204105, 103fvmptg 6319 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
205190, 203, 204syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
206 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 ∈ ran 𝐺)
207 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
208 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
209148, 208num0h 11547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = ((2 · 0) + 1)
210 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 0 → (2 · 𝑗) = (2 · 0))
211210oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 0 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 0) + 1))
212211eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 0 → (1 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 1 = ((2 · 0) + 1)))
213212rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 = ((2 · 0) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
214207, 209, 213mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)
215 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
216147elrnmpt 5404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)))
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
218214, 217mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ran 𝐺
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → 1 ∈ ran 𝐺)
220 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ 1 ∈ ran 𝐺))
221219, 220mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ ran 𝐺)
222206, 221nsyl 135 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 = 1)
223 nn1m1nn 11078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
224189, 223syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
225224ord 391 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
226222, 225mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
227 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗
228 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗(𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
229147, 228nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐺
230229nfrn 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗ran 𝐺
231227, 230nfdif 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(ℕ ∖ ran 𝐺)
232231nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)
233147elrnmpt 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1)))
234206, 233mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
235 ralnex 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
236234, 235sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
237236r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
238237neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
239238necomd 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
240239adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
241 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
242 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
243189ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
244156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
245 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
246245zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℝ)
247244, 246remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
248 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
249 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
250 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
251246recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
252250, 251mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) = (𝑗 · 2))
253 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
254 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
255253, 254sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
256 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗)) ↔ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗))
257255, 256mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
258257anabss1 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
259246, 248ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑗))
260258, 259mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 < 0)
261163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
262261rpregt0d 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
263 mulltgt0 39495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 < 0) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑗 · 2) < 0)
264246, 260, 262, 263syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 · 2) < 0)
265252, 264eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) < 0)
266247, 248, 249, 265ltadd1dd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < (0 + 1))
267 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
268267addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
269266, 268breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < 1)
270247, 249readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
271270, 249ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑗) + 1) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1)))
272269, 271mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
273 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
274272, 273nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
275274adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
276 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
277 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
278276, 277eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
279278adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
280275, 279mtand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
281280neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
282241, 242, 243, 281syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
283240, 282pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
284283neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
285284ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ ℤ → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
286232, 285ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
287 ralnex 3021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛 ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
288286, 287sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
289189nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℤ)
290 odd2np1 15112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
291289, 290syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
292288, 291mtbird 314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑛)
293292notnotrd 128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ 𝑛)
294189nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℂ)
295294, 191npcand 10434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
296293, 295breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1))
297193nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
298 oddp1even 15115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
299297, 298syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
300296, 299mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1))
301 oexpneg 15116 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
302191, 226, 300, 301syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
303 1exp 12929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
304297, 303syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
305304negeqd 10313 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -(1↑(𝑛 − 1)) = -1)
306302, 305eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
307306adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
308307oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
309308oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
310201mulm1d 10520 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = -((𝑇𝑛) / 𝑛))
311310oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
312201negcld 10417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → -((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
313312, 201addcomd 10276 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)))
314201negidd 10420 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
315311, 313, 3143eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
316205, 309, 3153eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
317117, 116eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
318103a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
319 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1))
320319oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑗 − 1) = (((2 · 𝑘) + 1) − 1))
321320oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)))
322319oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑇𝑗) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
323322, 319oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
324321, 323oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
325324, 323oveq12d 6708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
326148a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
327 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
328326, 327nn0mulcld 11394 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
329 nn0p1nn 11370 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
330328, 329syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
331176negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
332175, 176pncand 10431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
333148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
334333, 172nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
335332, 334eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
336331, 335expcld 13048 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
337336adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
33814adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
339208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
340328, 339nn0addcld 11393 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
341338, 340expcld 13048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
342 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
343174adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
344342, 343mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
345 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
346344, 345addcld 10097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
347 0red 10079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
348156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
349158adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
350348, 349remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
351 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
352 0le2 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
354327nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
355348, 349, 353, 354mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
356 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 1)
358350, 351, 355, 357addgegt0d 10639 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
359347, 358gtned 10210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
360341, 346, 359divcld 10839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
361337, 360mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
362361, 360addcld 10097 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
363318, 325, 330, 362fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
364332adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
365364oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = (-1↑(2 · 𝑘)))
366 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
367 m1expeven 12947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
368366, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
369368adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
370365, 369eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = 1)
371370oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
372360mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
373371, 372eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
374373oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
3753602timesd 11313 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
376341, 346, 359divrec2d 10843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
377376oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
378374, 375, 3773eqtr2d 2691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
379363, 378eqtr2d 2686 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
380 stirlinglem5.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
381380a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))))))
382 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
383382oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
384383oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
385384oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
386384oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
387385, 386oveq12d 6708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
388387oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
389346, 359reccld 10832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
390389, 341mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
391342, 390mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
392381, 388, 327, 391fvmptd 6327 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
393208a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
394334, 393nn0addcld 11393 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
395168, 171, 172, 394fvmptd 6327 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
396395adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
397396fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
398379, 392, 3973eqtr4d 2695 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
399145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398isercoll2 14443 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))) ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇)))))
400144, 399mpbird 247 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
40151, 13resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
40214subidd 10418 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑇) = 0)
403402eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (𝑇𝑇))
40413, 51, 13, 139ltsub1dd 10677 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑇) < (1 − 𝑇))
405403, 404eqbrtrd 4707 . . . 4 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
406401, 405elrpd 11907 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ+)
407133, 406relogdivd 24417 . 2 (𝜑 → (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
408400, 407breqtrrd 4713 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  cdvds 15027  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  40614
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