Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem11 40619
Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem11.3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10079 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
54oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
65oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
76oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
85oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
97, 8oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10 1nn 11069 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1412, 13mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
1514, 13addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16 2t1e2 11214 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
1716oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18 2p1e3 11189 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
1917, 18eqtri 2673 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
20 3ne0 11153 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2119, 20eqnetri 2893 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
2315, 22reccld 10832 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24 nncn 11066 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2512, 24mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2625, 13addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 27readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33 0lt1 10588 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
37 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3927, 38ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
401, 27, 32, 34, 39lttrd 10236 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4140gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
4226, 41reccld 10832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43 2nn0 11347 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
45 1nn0 11346 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4744, 46nn0mulcld 11394 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ0)
4842, 47expcld 13048 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
4923, 48mulcld 10098 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
503, 9, 11, 49fvmptd 6327 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5228, 51remulcli 10092 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℝ
5352, 51readdcli 10091 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
5453, 21rereccli 10828 . . . . . 6 (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
5632, 41rereccld 10890 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
5756, 47reexpcld 13065 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10108 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
5950, 58eqeltrd 2730 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6160stirlinglem2 40610 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
6261relogcld 24414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
63 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑛𝑁
64 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑛log
65 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6660, 65nfcxfr 2791 . . . . . . . . 9 𝑛𝐴
6766, 63nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴𝑁)
6864, 67nffv 6236 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
69 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
7069fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
71 stirlinglem11.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
7263, 68, 70, 71fvmptf 6340 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7362, 72mpdan 703 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7473, 62eqeltrd 2730 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
75 peano2nn 11070 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7660stirlinglem2 40610 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7877relogcld 24414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
79 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑛(𝑁 + 1)
8066, 79nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
8164, 80nffv 6236 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
82 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
8382fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8479, 81, 83, 71fvmptf 6340 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8575, 78, 84syl2anc 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8685, 78eqeltrd 2730 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
8774, 86resubcld 10496 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8829, 27remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
89 0le2 11149 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
91 0le1 10589 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
9329, 27, 90, 92mulge0d 10642 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
9488, 93ge0p1rpd 11940 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ+)
9594rpreccld 11920 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ+)
9637rpge0d 11914 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9729, 30, 90, 96mulge0d 10642 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
9831, 97ge0p1rpd 11940 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
9998rpreccld 11920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
100 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
102 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
104101, 103zmulcld 11526 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
10599, 104rpexpcld 13072 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ+)
10695, 105rpmulcld 11926 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ+)
10750, 106eqeltrd 2730 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ+)
108107rpgt0d 11913 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
10987, 59resubcld 10496 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
110 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘(1 + 1))
111103peano2zd 11523 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
112 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1132a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
114 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
115114oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
116115oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
117114oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
118116, 117oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
119118adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
120 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
121 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
122 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
124121, 123mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
125 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
126124, 125addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
127 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
128 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
12928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
130 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
132129, 131remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
133132, 128readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
13433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
13535a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
136 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
138135, 137rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
139128, 138ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
140127, 128, 133, 134, 139lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
141140gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
142126, 141reccld 10832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
14324adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
144121, 143mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
145144, 125addcld 10097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
14641adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
147145, 146reccld 10832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
14843a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
149 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
150149adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
151148, 150nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
152147, 151expcld 13048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
153142, 152mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
154113, 119, 120, 153fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
155 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
156 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
158157, 130remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
159158, 156readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
16033a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
16135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
162161, 136rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
163156, 162ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
164155, 156, 159, 160, 163lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
165164gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
166165adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
167126, 166reccld 10832 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
168167, 152mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
169154, 168eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) ∈ ℂ)
170 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
17160, 71, 170, 2stirlinglem9 40617 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
172112, 11, 169, 171clim2ser 14429 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
173 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
174 uznnssnn 11773 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
17510, 173, 174mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
176175a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
177176sseld 3635 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
178177imdistani 726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
179178, 154syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
18028a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
181 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
182180, 181remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
183 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
184182, 183readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
185175sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
186185, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
187184, 186rereccld 10890 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
188187adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
18932adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
19041adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
191189, 190rereccld 10890 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
192178, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
193191, 192reexpcld 13065 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
194188, 193remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
195179, 194eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
196 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
19728a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
198178, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
199197, 198remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
20089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
201 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
20289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
203 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
204 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
205203, 204syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
206201, 180, 181, 202, 205letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
207206adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
208197, 198, 200, 207mulge0d 10642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
209199, 208ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
21091a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
211196, 209, 210divge0d 11950 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
21230adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
213197, 212remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21496adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
215197, 212, 200, 214mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
216213, 215ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
217196, 216, 210divge0d 11950 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
218191, 192, 217expge0d 13066 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
219188, 193, 211, 218mulge0d 10642 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
220219, 179breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
221110, 111, 172, 195, 220iserge0 14435 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
222 seq1 12854 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
223102, 222mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
224223oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
225221, 224breqtrd 4711 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
2261, 109, 59, 225leadd1dd 10679 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
22750, 49eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
228227addid2d 10275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
22974recnd 10106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
23086recnd 10106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
231229, 230subcld 10430 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
232231, 227npcand 10434 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233226, 228, 2323brtr3d 4716 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
2341, 59, 87, 108, 233ltletrd 10235 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
23586, 74posdifd 10652 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁) ↔ 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
236234, 235mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  seqcseq 12841  cexp 12900  !cfa 13100  csqrt 14017  eceu 14837  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  40621
  Copyright terms: Public domain W3C validator