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Theorem stdbdxmet 22301
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 22117 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 22130 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 12266 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1264 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 488 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 22115 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
10 ffn 6032 . . . . . 6 (𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
12 fnov 6753 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1311, 12sylib 208 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
14 eqidd 2621 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)))
15 breq1 4647 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅))
16 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → 𝑧 = (𝑥𝐶𝑦))
1715, 16ifbieq1d 4100 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
187, 13, 14, 17fmpt2co 7245 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
19 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2018, 19syl6eqr 2672 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = 𝐷)
21 elxrge0 12266 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧))
2221simplbi 476 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
23 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24 ifcl 4121 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2522, 23, 24syl2anr 495 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
26 eqid 2620 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))
2725, 26fmptd 6371 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
29 vex 3198 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
30 ifexg 4148 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
3129, 23, 30sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
32 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑅𝑎𝑅))
33 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑧 = 𝑎)
3432, 33ifbieq1d 4100 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3534, 26fvmptg 6267 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3628, 31, 35syl2anr 495 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3736eqeq1d 2622 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
38 eqeq1 2624 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 333 . . . . 5 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
40 eqeq1 2624 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
4140bibi1d 333 . . . . 5 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
42 biidd 252 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑎𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
43 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4443gt0ne0d 10577 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 0)
4544neneqd 2796 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
4645ad2antrr 761 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
47 0xr 10071 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
48 xrltle 11967 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4947, 23, 48sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
52 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5351, 52syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 → 𝑎𝑅))
5453con3dimp 457 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑎 = 0)
5546, 542falsed 366 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5639, 41, 42, 55ifbothda 4114 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5737, 56bitrd 268 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
58 elxrge0 12266 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
5958simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6059ad2antrl 763 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6123adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62 xrmin1 11993 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6360, 61, 62syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6460, 61ifcld 4122 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*)
65 elxrge0 12266 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
6665simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6766ad2antll 764 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
68 xrletr 11974 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6964, 60, 67, 68syl3anc 1324 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
7063, 69mpand 710 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
71 xrmin2 11994 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
7260, 61, 71syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
7370, 72jctird 566 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
74 xrlemin 12000 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7564, 67, 61, 74syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7673, 75sylibrd 249 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7736adantrr 752 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
78 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
79 vex 3198 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
80 ifexg 4148 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
8179, 23, 80sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
82 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝑅𝑏𝑅))
83 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏𝑧 = 𝑏)
8482, 83ifbieq1d 4100 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8584, 26fvmptg 6267 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8678, 81, 85syl2anr 495 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8777, 86breq12d 4657 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8876, 87sylibrd 249 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
8960, 67xaddcld 12116 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
90 xrmin1 11993 . . . . . . 7 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
9189, 61, 90syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
9289, 61ifcld 4122 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
9360, 61xaddcld 12116 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
94 xrmin2 11994 . . . . . . . 8 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
9589, 61, 94syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
96 xaddid2 12058 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9761, 96syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ∈ ℝ*)
9958simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
10099ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
101 xleadd1a 12068 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1327 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10397, 102eqbrtrrd 4668 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 11978 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
105 oveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑏) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
106105breq2d 4656 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
107 oveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑅) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
108107breq2d 4656 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
109106, 108ifboth 4115 . . . . . 6 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅)) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
11091, 104, 109syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
11167, 61ifcld 4122 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
11261, 111xaddcld 12116 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
113 xaddid1 12057 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
11461, 113syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
11565simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
116115ad2antll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
11750adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑅)
118 breq2 4648 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
119 breq2 4648 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
120118, 119ifboth 4115 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
121116, 117, 120syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
122 xleadd2a 12069 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1327 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124114, 123eqbrtrrd 4668 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 11978 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
127126breq2d 4656 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
128 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129128breq2d 4656 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
130127, 129ifboth 4115 . . . . 5 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
131110, 125, 130syl2anc 692 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
132 ge0xaddcl 12271 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
133 ovex 6663 . . . . . 6 (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V
134 ifexg 4148 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
135133, 23, 134sylancr 694 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
136 breq1 4647 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅))
137 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → 𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏))
138136, 137ifbieq1d 4100 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
139138, 26fvmptg 6267 . . . . 5 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
140132, 135, 139syl2anr 495 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
14177, 86oveq12d 6653 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
142131, 140, 1413brtr4d 4676 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
1431, 27, 57, 88, 142comet 22299 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
14420, 143eqeltrrd 2700 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720   × cxp 5102  ccom 5108   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060   +𝑒 cxad 11929  [,]cicc 12163  ∞Metcxmt 19712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-2 11064  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-icc 12167  df-xmet 19720
This theorem is referenced by:  stdbdmet  22302  stdbdbl  22303  stdbdmopn  22304
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