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Theorem stdbdxmet 22540
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 22356 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 22369 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 12488 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 572 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1113 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 569 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 22354 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
10 ffn 6185 . . . . . 6 (𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
12 fnov 6915 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1311, 12sylib 208 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
14 eqidd 2772 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)))
15 breq1 4789 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅))
16 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → 𝑧 = (𝑥𝐶𝑦))
1715, 16ifbieq1d 4248 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
187, 13, 14, 17fmpt2co 7411 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
19 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2018, 19syl6eqr 2823 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = 𝐷)
21 elxrge0 12488 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧))
2221simplbi 485 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
23 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24 ifcl 4269 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2522, 23, 24syl2anr 584 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
26 eqid 2771 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))
2725, 26fmptd 6527 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
29 vex 3354 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
30 ifexg 4296 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
3129, 23, 30sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
32 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑅𝑎𝑅))
33 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑧 = 𝑎)
3432, 33ifbieq1d 4248 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3534, 26fvmptg 6422 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3628, 31, 35syl2anr 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3736eqeq1d 2773 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
38 eqeq1 2775 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 332 . . . . 5 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
40 eqeq1 2775 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
4140bibi1d 332 . . . . 5 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
42 biidd 252 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑎𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
43 simp3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4443gt0ne0d 10794 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 0)
4544neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
4645ad2antrr 705 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
47 0xr 10288 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
48 xrltle 12187 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4947, 23, 48sylancr 575 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
5150adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
52 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5351, 52syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 → 𝑎𝑅))
5453con3dimp 395 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑎 = 0)
5546, 542falsed 365 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5639, 41, 42, 55ifbothda 4262 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5737, 56bitrd 268 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
58 elxrge0 12488 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
5958simplbi 485 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6059ad2antrl 707 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6123adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62 xrmin1 12213 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6360, 61, 62syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6460, 61ifcld 4270 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*)
65 elxrge0 12488 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
6665simplbi 485 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6766ad2antll 708 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
68 xrletr 12194 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6964, 60, 67, 68syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
7063, 69mpand 675 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
71 xrmin2 12214 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
7260, 61, 71syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
7370, 72jctird 516 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
74 xrlemin 12220 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7564, 67, 61, 74syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7673, 75sylibrd 249 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7736adantrr 696 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
78 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
79 vex 3354 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
80 ifexg 4296 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
8179, 23, 80sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
82 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝑅𝑏𝑅))
83 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏𝑧 = 𝑏)
8482, 83ifbieq1d 4248 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8584, 26fvmptg 6422 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8678, 81, 85syl2anr 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8777, 86breq12d 4799 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8876, 87sylibrd 249 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
8960, 67xaddcld 12336 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
90 xrmin1 12213 . . . . . . 7 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
9189, 61, 90syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
9289, 61ifcld 4270 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
9360, 61xaddcld 12336 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
94 xrmin2 12214 . . . . . . . 8 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
9589, 61, 94syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
96 xaddid2 12278 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9761, 96syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ∈ ℝ*)
9958simprbi 484 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
10099ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
101 xleadd1a 12288 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1479 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10397, 102eqbrtrrd 4810 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 12198 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
105 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑏) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
106105breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
107 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑅) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
108107breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
109106, 108ifboth 4263 . . . . . 6 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅)) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
11091, 104, 109syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
11167, 61ifcld 4270 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
11261, 111xaddcld 12336 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
113 xaddid1 12277 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
11461, 113syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
11565simprbi 484 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
116115ad2antll 708 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
11750adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑅)
118 breq2 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
119 breq2 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
120118, 119ifboth 4263 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
121116, 117, 120syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
122 xleadd2a 12289 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1479 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124114, 123eqbrtrrd 4810 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 12198 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
127126breq2d 4798 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
128 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129128breq2d 4798 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
130127, 129ifboth 4263 . . . . 5 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
131110, 125, 130syl2anc 573 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
132 ge0xaddcl 12493 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
133 ovex 6823 . . . . . 6 (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V
134 ifexg 4296 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
135133, 23, 134sylancr 575 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
136 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅))
137 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → 𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏))
138136, 137ifbieq1d 4248 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
139138, 26fvmptg 6422 . . . . 5 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
140132, 135, 139syl2anr 584 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
14177, 86oveq12d 6811 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
142131, 140, 1413brtr4d 4818 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
1431, 27, 57, 88, 142comet 22538 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
14420, 143eqeltrrd 2851 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  ccom 5253   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  ∞Metcxmt 19946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-xmet 19954
This theorem is referenced by:  stdbdmet  22541  stdbdbl  22542  stdbdmopn  22543
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