Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmet 22514
 Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 12025 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 12029 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 555 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
54stdbdxmet 22513 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
653expb 1113 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
73, 6sylan2 492 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 xmetcl 22329 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1113 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 753 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1210, 11ifcld 4267 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13 rpre 12024 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
15 xmetge0 22342 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
16153expb 1113 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
1716adantlr 753 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18 rpge0 12030 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
1918ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
20 breq2 4800 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
21 breq2 4800 . . . . . . 7 (𝑅 = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
2220, 21ifboth 4260 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
24 xrmin2 12194 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
2510, 11, 24syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
26 xrrege0 12190 . . . . 5 (((if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∧ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 14, 23, 25, 26syl22anc 1474 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2827ralrimivva 3101 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
294fmpt2 7397 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3028, 29sylib 208 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31 ismet2 22331 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
327, 30, 31sylanbrc 701 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ifcif 4222   class class class wbr 4796   × cxp 5256  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807  ℝcr 10119  0cc0 10120  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℝ+crp 12017  ∞Metcxmt 19925  Metcme 19926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-xmet 19933  df-met 19934 This theorem is referenced by:  mopnex  22517  xlebnum  22957
 Copyright terms: Public domain W3C validator