HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stadd3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stadd3i 29235
Description: If the sum of 3 states is 3, then each state is 1. (Contributed by NM, 13-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stle.1 𝐴C
stle.2 𝐵C
stm1add3.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
stadd3i (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) + (𝑆𝐶)) = 3 → (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stadd3i
StepHypRef Expression
1 stle.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stcl 29203 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10106 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℂ)
5 stle.2 . . . . . 6 𝐵C
6 stcl 29203 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ∈ ℝ))
75, 6mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ∈ ℝ)
87recnd 10106 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ∈ ℂ)
9 stm1add3.3 . . . . . 6 𝐶C
10 stcl 29203 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐶C → (𝑆𝐶) ∈ ℝ))
119, 10mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐶) ∈ ℝ)
1211recnd 10106 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐶) ∈ ℂ)
134, 8, 12addassd 10100 . . 3 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) + (𝑆𝐶)) = ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))))
1413eqeq1d 2653 . 2 (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) + (𝑆𝐶)) = 3 ↔ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) = 3))
15 eqcom 2658 . . . 4 (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) = 3 ↔ 3 = ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))))
167, 11readdcld 10107 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶)) ∈ ℝ)
173, 16readdcld 10107 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ∈ ℝ)
18 ltne 10172 . . . . . . 7 ((((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3) → 3 ≠ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))))
1918ex 449 . . . . . 6 (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ∈ ℝ → (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3 → 3 ≠ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶)))))
2017, 19syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3 → 3 ≠ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶)))))
2120necon2bd 2839 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (3 = ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) → ¬ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3))
2215, 21syl5bi 232 . . 3 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) = 3 → ¬ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3))
23 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2423, 23readdcli 10091 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → (1 + 1) ∈ ℝ)
26 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ States → 1 ∈ ℝ)
27 stle1 29212 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ≤ 1))
285, 27mpi 20 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ≤ 1)
29 stle1 29212 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ States → (𝐶C → (𝑆𝐶) ≤ 1))
309, 29mpi 20 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐶) ≤ 1)
317, 11, 26, 26, 28, 30le2addd 10684 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶)) ≤ (1 + 1))
3216, 25, 3, 31leadd2dd 10680 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ≤ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ≤ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)))
34 ltadd1 10533 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 ↔ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))))
3534biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))))
363, 26, 25, 35syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))))
3736imp 444 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1)))
38 readdcl 10057 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∈ ℝ)
393, 24, 38sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∈ ℝ)
4023, 24readdcli 10091 . . . . . . . . . 10 (1 + (1 + 1)) ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → (1 + (1 + 1)) ∈ ℝ)
42 lelttr 10166 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 + (1 + 1)) ∈ ℝ) → ((((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ≤ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∧ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < (1 + (1 + 1))))
4317, 39, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ≤ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∧ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < (1 + (1 + 1))))
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) ≤ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) ∧ ((𝑆𝐴) + (1 + 1)) < (1 + (1 + 1))) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < (1 + (1 + 1))))
4533, 37, 44mp2and 715 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < (1 + (1 + 1)))
46 df-3 11118 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
47 df-2 11117 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4847oveq1i 6700 . . . . . . 7 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
49 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
5049, 49, 49addassi 10086 . . . . . . 7 ((1 + 1) + 1) = (1 + (1 + 1))
5146, 48, 503eqtrri 2678 . . . . . 6 (1 + (1 + 1)) = 3
5245, 51syl6breq 4726 . . . . 5 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3)
5352ex 449 . . . 4 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3))
5453con3d 148 . . 3 (𝑆 ∈ States → (¬ ((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) < 3 → ¬ (𝑆𝐴) < 1))
55 stle1 29212 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
561, 55mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
57 leloe 10162 . . . . . 6 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
583, 23, 57sylancl 695 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
5956, 58mpbid 222 . . . 4 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1))
6059ord 391 . . 3 (𝑆 ∈ States → (¬ (𝑆𝐴) < 1 → (𝑆𝐴) = 1))
6122, 54, 603syld 60 . 2 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + ((𝑆𝐵) + (𝑆𝐶))) = 3 → (𝑆𝐴) = 1))
6214, 61sylbid 230 1 (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) + (𝑆𝐶)) = 3 → (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  3c3 11109   C cch 27914  Statescst 27947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-2 11117  df-3 11118  df-icc 12220  df-sh 28192  df-ch 28206  df-st 29198
This theorem is referenced by:  golem2  29259
  Copyright terms: Public domain W3C validator