Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sszcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sszcld 22667
 Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
sszcld (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld
StepHypRef Expression
1 recld2.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21zcld2 22665 . 2 ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3 id 22 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4 difss 3770 . . . . . 6 (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
5 zex 11424 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
65elpw2 4858 . . . . . 6 ((ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ)
74, 6mpbir 221 . . . . 5 (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
81zdis 22666 . . . . 5 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
97, 8eleqtrri 2729 . . . 4 (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ)
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ))
111cnfldtopon 22633 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12 zsscn 11423 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℂ
13 resttopon 21013 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
1411, 12, 13mp2an 708 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
1514topontopi 20768 . . . 4 (𝐽t ℤ) ∈ Top
1614toponunii 20769 . . . . 5 ℤ = (𝐽t ℤ)
1716iscld 20879 . . . 4 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ))))
1815, 17ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ)))
193, 10, 18sylanbrc 699 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)))
20 restcldr 21026 . 2 ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
212, 19, 20sylancr 696 1 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℤcz 11415   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-xms 22172  df-ms 22173 This theorem is referenced by:  lgamucov  24809
 Copyright terms: Public domain W3C validator