Theorem ssuzfz 40081

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ssuzfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
ssuzfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2	1	sselda 3744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		ssuzfz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	syl6eleq 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 11904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		uzssz 11919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
8	3, 7	eqsstri 3776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
10	1, 9	sstrd 3754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
11	10	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12		ne0i 4064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		ssuzfz.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
15	14	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16		suprfinzcl 11704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	11, 17	sseldd 3745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	10	sselda 3744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	6, 18, 19	3jca 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
21		eluzle 11912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22	4, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑘)
23		zssre 11596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
25	10, 24	sstrd 3754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
28		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
29	26, 15, 27, 28	supfirege 11221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	20, 22, 29	jca32 559	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
31		elfz2 12546	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	30, 31	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33	32	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
34	33	ralrimiv 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
35		dfss3 3733	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
36	34, 35	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  supcsup 8513  ℝcr 10147   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ_≥cuz 11899  ...cfz 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540

This theorem is referenced by:  sge0isum  41165