MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sstr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sstr2 3595
Description: Transitivity of subclasses. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 24-Jun-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 14-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sstr2 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶))

Proof of Theorem sstr2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3582 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21imim1d 82 . . 3 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥𝐶) → (𝑥𝐴𝑥𝐶)))
32alimdv 1842 . 2 (𝐴𝐵 → (∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐶) → ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶)))
4 dfss2 3577 . 2 (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐶))
5 dfss2 3577 . 2 (𝐴𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶))
63, 4, 53imtr4g 285 1 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1478  wcel 1987  wss 3560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-in 3567  df-ss 3574
This theorem is referenced by:  sstr  3596  sstri  3597  sseq1  3611  sseq2  3612  ssun3  3762  ssun4  3763  ssinss1  3825  ssdisjOLD  4005  triun  4736  trintss  4739  sspwb  4888  exss  4902  frss  5051  relss  5177  funss  5876  funimass2  5940  fss  6023  suceloni  6975  limsssuc  7012  oaordi  7586  oeworde  7633  nnaordi  7658  sbthlem2  8031  sbthlem3  8032  sbthlem6  8035  domunfican  8193  fiint  8197  fiss  8290  dffi3  8297  inf3lem1  8485  trcl  8564  tcss  8580  ac10ct  8817  ackbij2lem4  9024  cfslb  9048  cfslbn  9049  cfcoflem  9054  coftr  9055  fin23lem15  9116  fin23lem20  9119  fin23lem36  9130  isf32lem1  9135  axdc3lem2  9233  ttukeylem2  9292  wunex2  9520  tskcard  9563  clsslem  13673  mrcss  16216  isacs2  16254  lubss  17061  frmdss2  17340  lsmlub  18018  lsslss  18901  lspss  18924  aspss  19272  mplcoe1  19405  mplcoe5  19408  ocv2ss  19957  ocvsscon  19959  lindsss  20103  lsslinds  20110  mdetunilem9  20366  tgss  20712  tgcl  20713  tgss3  20730  clsss  20798  ntrss  20799  neiss  20853  ssnei2  20860  opnnei  20864  cnpnei  21008  cnpco  21011  cncls  21018  cnprest  21033  hauscmp  21150  1stcfb  21188  1stcelcls  21204  reftr  21257  txcnpi  21351  txcnp  21363  txtube  21383  qtoptop2  21442  fgcl  21622  filssufilg  21655  ufileu  21663  uffix  21665  elfm2  21692  fmfnfmlem1  21698  fmco  21705  fbflim2  21721  flffbas  21739  flftg  21740  cnpflf2  21744  alexsubALTlem4  21794  neibl  22246  metcnp3  22285  xlebnum  22704  lebnumii  22705  caubl  23046  caublcls  23047  bcthlem2  23062  bcthlem5  23065  ovolsslem  23192  volsuplem  23263  dyadmbllem  23307  ellimc3  23583  limciun  23598  cpnord  23638  ubthlem1  27614  occon3  28044  chsupval  28082  chsupcl  28087  chsupss  28089  spanss  28095  chsupval2  28157  stlei  28987  dmdbr5  29055  mdsl0  29057  chrelat2i  29112  chirredlem1  29137  mdsymlem5  29154  mdsymlem6  29155  gsumle  29606  gsumvsca1  29609  gsumvsca2  29610  omsmon  30183  cvmliftlem15  31041  ss2mcls  31226  mclsax  31227  clsint2  32019  fgmin  32060  filnetlem4  32071  limsucncmpi  32139  bj-restpw  32735  ptrecube  33080  heiborlem1  33281  heiborlem8  33288  pclssN  34699  dochexmidlem7  36274  incssnn0  36793  islssfg2  37160  hbtlem6  37219  hess  37595  psshepw  37603  clsf2  37945  sspwimpcf  38678  sspwimpcfVD  38679  dvmptfprod  39497  sprsymrelfo  41065  elbigo2  41668  setrec1lem2  41758  setrec1lem4  41760
  Copyright terms: Public domain W3C validator