MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sst0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sst0 21398
Description: A topology finer than a T0 topology is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
sst0 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐾 ∈ Kol2)

Proof of Theorem sst0
StepHypRef Expression
1 t1sep.1 . 2 𝑋 = 𝐽
2 t0top 21354 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
3 cnt0 21371 . 2 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
41, 2, 3sshauslem 21397 1 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐾 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   cuni 4575   I cid 5157  cres 5252  cfv 6030  TopOnctopon 20935  Kol2ct0 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-top 20919  df-topon 20936  df-cn 21252  df-t0 21338
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator