Theorem sspz 27899

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
sspz.q	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
sspz.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 27890	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		sspz.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 27798	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
6	5, 5	jca 555	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 27897	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
11	7, 10	mpdan 705	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
12	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
13	3, 9, 4	nvmid 27823	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
14	2, 12, 13	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
16	15, 3, 1	sspba 27891	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
17	16, 12	sseldd 3745	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		sspz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
19	15, 8, 18	nvmid 27823	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
20	17, 19	syldan 488	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
21	11, 14, 20	3eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  NrmCVeccnv 27748  BaseSetcba 27750  0_veccn0v 27752   −_𝑣 cnsb 27753  SubSpcss 27885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ssp 27886

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28434