MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspz 27899
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vec𝑈)
sspz.q 𝑄 = (0vec𝑊)
sspz.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 27890 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 eqid 2760 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 27798 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
65, 5jca 555 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
72, 6syl 17 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8 eqid 2760 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
9 eqid 2760 . . . 4 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
103, 8, 9, 1sspmval 27897 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
117, 10mpdan 705 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
122, 5syl 17 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
133, 9, 4nvmid 27823 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
142, 12, 13syl2anc 696 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
15 eqid 2760 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
1615, 3, 1sspba 27891 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
1716, 12sseldd 3745 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
1915, 8, 18nvmid 27823 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 488 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2111, 14, 203eqtr3d 2802 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  NrmCVeccnv 27748  BaseSetcba 27750  0veccn0v 27752  𝑣 cnsb 27753  SubSpcss 27885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ssp 27886
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28434
  Copyright terms: Public domain W3C validator