MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspph 28019
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspph ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ CPreHilOLD)

Proof of Theorem sspph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 27978 . . 3 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 sspph.h . . . 4 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
32sspnv 27890 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
41, 3sylan 489 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
75, 6, 2sspba 27891 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
87sseld 3743 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
97sseld 3743 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
108, 9anim12d 587 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
111, 10sylan 489 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
1211imp 444 . . . . 5 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
13 eqid 2760 . . . . . . . 8 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
14 eqid 2760 . . . . . . . 8 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
15 eqid 2760 . . . . . . . 8 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
165, 13, 14, 15phpar2 27987 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))))
17163expb 1114 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))))
1817adantlr 753 . . . . 5 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))))
1912, 18syldan 488 . . . 4 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))))
20 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
216, 20nvgcl 27784 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22213expb 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
233, 22sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
24 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
256, 15, 24, 2sspnval 27901 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)))
26253expa 1112 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)))
2723, 26syldan 488 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)))
2827oveq1d 6828 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2))
296, 13, 20, 2sspgval 27893 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))
3029fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦)))
3130oveq1d 6828 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2))
3228, 31eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2))
33 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
346, 33nvmcl 27810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
35343expb 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
363, 35sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊))
376, 15, 24, 2sspnval 27901 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)))
38373expa 1112 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)))
3936, 38syldan 488 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)))
406, 14, 33, 2sspmval 27897 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑥( −𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))
4140fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦)))
4239, 41eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦)) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦)))
4342oveq1d 6828 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2))
4432, 43oveq12d 6831 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) + (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)))
451, 44sylanl1 685 . . . 4 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) + (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦))↑2) + (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑦))↑2)))
466, 15, 24, 2sspnval 27901 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘𝑥) = ((normCV𝑈)‘𝑥))
47463expa 1112 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘𝑥) = ((normCV𝑈)‘𝑥))
4847adantrr 755 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑊)‘𝑥) = ((normCV𝑈)‘𝑥))
4948oveq1d 6828 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) = (((normCV𝑈)‘𝑥)↑2))
506, 15, 24, 2sspnval 27901 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘𝑦) = ((normCV𝑈)‘𝑦))
51503expa 1112 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘𝑦) = ((normCV𝑈)‘𝑦))
5251adantrl 754 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((normCV𝑊)‘𝑦) = ((normCV𝑈)‘𝑦))
5352oveq1d 6828 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2) = (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))
5449, 53oveq12d 6831 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2)) = ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2)))
551, 54sylanl1 685 . . . . 5 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2)) = ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2)))
5655oveq2d 6829 . . . 4 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (2 · ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2))) = (2 · ((((normCV𝑈)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑈)‘𝑦)↑2))))
5719, 45, 563eqtr4d 2804 . . 3 (((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → ((((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) + (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2))))
5857ralrimivva 3109 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) + (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2))))
596, 20, 33, 24isph 27986 . 2 (𝑊 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑊)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((((normCV𝑊)‘(𝑥( +𝑣𝑊)𝑦))↑2) + (((normCV𝑊)‘(𝑥( −𝑣𝑊)𝑦))↑2)) = (2 · ((((normCV𝑊)‘𝑥)↑2) + (((normCV𝑊)‘𝑦)↑2)))))
604, 58, 59sylanbrc 701 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ CPreHilOLD)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cfv 6049  (class class class)co 6813   + caddc 10131   · cmul 10133  2c2 11262  cexp 13054  NrmCVeccnv 27748   +𝑣 cpv 27749  BaseSetcba 27750  𝑣 cnsb 27753  normCVcnmcv 27754  SubSpcss 27885  CPreHilOLDccphlo 27976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ssp 27886  df-ph 27977
This theorem is referenced by:  ssphl  28082  hhssph  28440
  Copyright terms: Public domain W3C validator