MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspnv 27921
Description: A subspace is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspnv.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspnv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem sspnv
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2 eqid 2771 . . 3 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
3 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
5 eqid 2771 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
6 eqid 2771 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
7 sspnv.h . . 3 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isssp 27919 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊𝐻 ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) ∧ ( ·𝑠OLD𝑊) ⊆ ( ·𝑠OLD𝑈) ∧ (normCV𝑊) ⊆ (normCV𝑈)))))
98simprbda 486 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6030  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780   ·𝑠OLD cns 27782  normCVcnmcv 27785  SubSpcss 27916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fo 6036  df-fv 6038  df-oprab 6800  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-sm 27792  df-nmcv 27795  df-ssp 27917
This theorem is referenced by:  sspg  27923  ssps  27925  sspmlem  27927  sspmval  27928  sspz  27930  sspn  27931  sspimsval  27933  sspph  28050  bnsscmcl  28064  minvecolem2  28071  hhshsslem1  28464  hhshsslem2  28465
  Copyright terms: Public domain W3C validator