MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspba 27912
Description: The base set of a subspace is included in the parent base set. (Contributed by NM, 27-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspba.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sspba.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspba.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspba ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌𝑋)

Proof of Theorem sspba
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2 eqid 2760 . . . . . 6 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
3 eqid 2760 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2760 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
5 eqid 2760 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
6 eqid 2760 . . . . . 6 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
7 sspba.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isssp 27909 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊𝐻 ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) ∧ ( ·𝑠OLD𝑊) ⊆ ( ·𝑠OLD𝑈) ∧ (normCV𝑊) ⊆ (normCV𝑈)))))
98simplbda 655 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) ∧ ( ·𝑠OLD𝑊) ⊆ ( ·𝑠OLD𝑈) ∧ (normCV𝑊) ⊆ (normCV𝑈)))
109simp1d 1137 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈))
11 rnss 5509 . . 3 (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) → ran ( +𝑣𝑊) ⊆ ran ( +𝑣𝑈))
1210, 11syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ran ( +𝑣𝑊) ⊆ ran ( +𝑣𝑈))
13 sspba.y . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
1413, 2bafval 27789 . 2 𝑌 = ran ( +𝑣𝑊)
15 sspba.x . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1615, 1bafval 27789 . 2 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
1712, 14, 163sstr4g 3787 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  ran crn 5267  cfv 6049  NrmCVeccnv 27769   +𝑣 cpv 27770  BaseSetcba 27771   ·𝑠OLD cns 27772  normCVcnmcv 27775  SubSpcss 27906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fo 6055  df-fv 6057  df-oprab 6818  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-nmcv 27785  df-ssp 27907
This theorem is referenced by:  sspg  27913  ssps  27915  sspmlem  27917  sspmval  27918  sspz  27920  sspn  27921  sspimsval  27923  sspph  28040  minvecolem1  28060  minvecolem2  28061  minvecolem3  28062  minvecolem4b  28064  minvecolem4  28066  minvecolem5  28067  minvecolem6  28068  minvecolem7  28069
  Copyright terms: Public domain W3C validator