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Theorem ssnn0fi 12991
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
Distinct variable group:   𝑆,𝑠,𝑥

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11508 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → 0 ∈ ℕ0)
3 breq1 4787 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → (𝑠 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
43imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 → ((𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
54ralbidv 3134 . . . . . 6 (𝑠 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
65adantl 467 . . . . 5 ((𝑆 = ∅ ∧ 𝑠 = 0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
7 nnel 3054 . . . . . . . . 9 𝑥𝑆𝑥𝑆)
8 n0i 4066 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
97, 8sylbi 207 . . . . . . . 8 𝑥𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
109con4i 114 . . . . . . 7 (𝑆 = ∅ → 𝑥𝑆)
1110a1d 25 . . . . . 6 (𝑆 = ∅ → (0 < 𝑥𝑥𝑆))
1211ralrimivw 3115 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆))
132, 6, 12rspcedvd 3465 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
14132a1d 26 . . 3 (𝑆 = ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
15 ltso 10319 . . . . . . 7 < Or ℝ
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℕ0𝑆 ⊆ ℕ0)
17 nn0ssre 11497 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ
1816, 17syl6ss 3762 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ ℕ0𝑆 ⊆ ℝ)
19183anim3i 1156 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ))
20 fisup2g 8529 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ)) → ∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
2115, 19, 20sylancr 567 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → ∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
22 simp3 1131 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℕ0)
23 breq2 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦𝑠 < 𝑥))
2423notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 < 𝑥))
2524rspcva 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦) → ¬ 𝑠 < 𝑥)
26252a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ¬ 𝑠 < 𝑥)))
2726expcom 398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ¬ 𝑠 < 𝑥))))
2827com24 95 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))))
2928imp31 404 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))
307, 29syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))
3130con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
3231ralrimiva 3114 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
3332ex 397 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3433adantr 466 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3635reximdva 3164 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑠𝑆𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
37 ssrexv 3814 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (∃𝑠𝑆𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3822, 36, 37sylsyld 61 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3921, 38mpd 15 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
40393exp 1111 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
4140com3l 89 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
4214, 41pm2.61ine 3025 . 2 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
43 fzfi 12978 . . . . 5 (0...𝑠) ∈ Fin
44 elfz2nn0 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠))
4544notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠))
46 3ianor 1095 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠))
47 3orass 1073 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)))
4845, 46, 473bitri 286 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)))
49 ssel 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5150adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5251con3rr3 152 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
53 notnotb 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0)
54 pm2.24 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5554adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑠 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
5857a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
59 breq2 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝑦))
60 neleq1 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆))
6159, 60imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ (𝑠 < 𝑦𝑦𝑆)))
6261rspcva 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑠 < 𝑦𝑦𝑆))
63 nn0re 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℝ)
64 nn0re 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
65 ltnle 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑠))
6663, 64, 65syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑠))
67 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝑆 ↔ ¬ 𝑦𝑆)
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↔ ¬ 𝑦𝑆))
6966, 68imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) ↔ (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7069biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7170ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7562, 74mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7675ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7776com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7877imp 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7978com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑠 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8058, 79jaoi 837 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8153, 80syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) → (¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8281impcom 394 . . . . . . . . . 10 ((¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8352, 82jaoi3 1047 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8448, 83sylbi 207 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0...𝑠) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8584com12 32 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (¬ 𝑦 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝑦𝑆))
8685con4d 115 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (0...𝑠)))
8786ssrdv 3756 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ (0...𝑠))
88 ssfi 8335 . . . . 5 (((0...𝑠) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (0...𝑠)) → 𝑆 ∈ Fin)
8943, 87, 88sylancr 567 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → 𝑆 ∈ Fin)
9089ex 397 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → 𝑆 ∈ Fin))
9190rexlimdva 3178 . 2 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → 𝑆 ∈ Fin))
9242, 91impbid 202 1 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3o 1069  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wnel 3045  wral 3060  wrex 3061  wss 3721  c0 4061   class class class wbr 4784   Or wor 5169  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  cr 10136  0cc0 10137   < clt 10275  cle 10276  0cn0 11493  ...cfz 12532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12992
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