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Theorem ssfiunibd 39342
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
ssfiunibd.ssun (𝜑𝐶 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 simpll 790 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝜑)
3 19.8a 2051 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
43ancoms 469 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
5 eluni 4437 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
64, 5sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
76adantll 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 693 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
11 eqid 2621 . . . . . 6 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
129, 10, 11upbdrech2 39341 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
1312simpld 475 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15 fimaxre3 10967 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
161, 14, 15syl2anc 693 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17 nfv 1842 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
18 nfcv 2763 . . . . . . 7 𝑧𝐴
19 nfv 1842 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 = ∅
20 nfcv 2763 . . . . . . . . 9 𝑧0
21 nfre1 3004 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵
2221nfab 2768 . . . . . . . . . 10 𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
23 nfcv 2763 . . . . . . . . . 10 𝑧
24 nfcv 2763 . . . . . . . . . 10 𝑧 <
2522, 23, 24nfsup 8354 . . . . . . . . 9 𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
2619, 20, 25nfif 4113 . . . . . . . 8 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27 nfcv 2763 . . . . . . . 8 𝑧
28 nfcv 2763 . . . . . . . 8 𝑧𝑤
2926, 27, 28nfbr 4697 . . . . . . 7 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3018, 29nfral 2944 . . . . . 6 𝑧𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3117, 30nfan 1827 . . . . 5 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 𝐴)
3332sselda 3601 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 𝐴)
3433, 5sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
35 exancom 1786 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
37 df-rex 2917 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
3938ad4ant14 1292 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
40 nfv 1842 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
41 nfra1 2940 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
4240, 41nfan 1827 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43 nfv 1842 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧𝐶
4442, 43nfan 1827 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶)
45 nfv 1842 . . . . . . . 8 𝑥 𝐵𝑤
4693impa 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47463adant1r 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48473adant1r 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 n0i 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
5150iffalsed 4095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
5251eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53523adant1 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54133adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56553adant1r 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57563adant1r 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58 simp1lr 1124 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59 nfv 1842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢(𝜑𝑥𝐴)
60 nfab1 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
61 nfcv 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢
62 abid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6362biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
65 nfv 1842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝜑𝑥𝐴)
6621nfsab 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
6765, 66nfan 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
68 nfv 1842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69 simp3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
7093adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72713exp 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7467, 68, 73rexlimd 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
7675ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
7759, 60, 61, 76ssrd 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78773adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79 simp3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
80 elabrexg 39032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8179, 46, 80syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
82 ne0i 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
84 abid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8584biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
86 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
8786rexbidv 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵))
8887cbvabv 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵}
8985, 88eleq2s 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
91 nfra1 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧𝑧𝑥 𝐵𝑦
9265, 91nfan 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
9321nfsab 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
9492, 93nfan 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧(((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
95 nfv 1842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 𝑣𝑦
96 simp3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
97 rspa 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥) → 𝐵𝑦)
98973adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
9996, 98eqbrtrd 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣𝑦)
100993exp 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10394, 95, 102rexlimd 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵𝑣𝑦))
10490, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣𝑦)
105104ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
106105ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
107106reximdv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
10810, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
1091083adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
110 suprub 10981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
11178, 83, 109, 81, 110syl31anc 1328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1121113adant1r 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1131123adant1r 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
114523adant1 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
115 rspa 2929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
1161153adant3 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
117114, 116eqbrtrd 4673 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
1181173adant1l 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
11948, 57, 58, 113, 118letrd 10191 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵𝑤)
1201193exp 1263 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
12244, 45, 121rexlimd 3024 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥𝐵𝑤))
12339, 122mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐵𝑤)
124123ex 450 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧𝐶𝐵𝑤))
12531, 124ralrimi 2956 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
126125ex 450 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
127126reximdva 3016 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
12816, 127mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  {cab 2607  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  wss 3572  c0 3913  ifcif 4084   cuni 4434   class class class wbr 4651  Fincfn 7952  supcsup 8343  cr 9932  0cc0 9933   < clt 10071  cle 10072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40162  fourierdlem71  40163  fourierdlem80  40172
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