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Theorem ssfiunibd 40034
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
ssfiunibd.ssun (𝜑𝐶 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 simpll 742 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝜑)
3 19.8a 2205 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
43ancoms 455 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
5 eluni 4575 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
64, 5sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
76adantll 685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
11 eqid 2770 . . . . . 6 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
129, 10, 11upbdrech2 40033 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
1312simpld 476 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15 fimaxre3 11171 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
161, 14, 15syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17 nfv 1994 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
18 nfcv 2912 . . . . . . 7 𝑧𝐴
19 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 = ∅
20 nfcv 2912 . . . . . . . . 9 𝑧0
21 nfre1 3152 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵
2221nfab 2917 . . . . . . . . . 10 𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
23 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑧
24 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑧 <
2522, 23, 24nfsup 8512 . . . . . . . . 9 𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
2619, 20, 25nfif 4252 . . . . . . . 8 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑧
28 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑧𝑤
2926, 27, 28nfbr 4831 . . . . . . 7 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3018, 29nfral 3093 . . . . . 6 𝑧𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3117, 30nfan 1979 . . . . 5 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 𝐴)
3332sselda 3750 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 𝐴)
3433, 5sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
35 exancom 1937 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
37 df-rex 3066 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
3938ad4ant14 1207 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
40 nfv 1994 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
41 nfra1 3089 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
4240, 41nfan 1979 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧𝐶
4442, 43nfan 1979 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶)
45 nfv 1994 . . . . . . . 8 𝑥 𝐵𝑤
4693impa 1099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47463adant1r 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48473adant1r 1186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 n0i 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
5150iffalsed 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
5251eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53523adant1 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54133adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56553adant1r 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57563adant1r 1186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58 simp1lr 1302 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59 nfv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢(𝜑𝑥𝐴)
60 nfab1 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
61 nfcv 2912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢
62 abid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6362biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
65 nfv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝜑𝑥𝐴)
6621nfsab 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
6765, 66nfan 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
68 nfv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
7093adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72713exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7467, 68, 73rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
7675ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
7759, 60, 61, 76ssrd 3755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78773adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
80 elabrexg 39722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8179, 46, 80syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
82 ne0i 4067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
84 abid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8584biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
86 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
8786rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵))
8887cbvabv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵}
8985, 88eleq2s 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
9089adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
91 nfra1 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧𝑧𝑥 𝐵𝑦
9265, 91nfan 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
9321nfsab 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
9492, 93nfan 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧(((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
95 nfv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 𝑣𝑦
96 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
97 rspa 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥) → 𝐵𝑦)
98973adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
9996, 98eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣𝑦)
100993exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
101100adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10394, 95, 102rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵𝑣𝑦))
10490, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣𝑦)
105104ralrimiva 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
106105ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
107106reximdv 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
10810, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
1091083adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
110 suprub 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
11178, 83, 109, 81, 110syl31anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1121113adant1r 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1131123adant1r 1186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
114523adant1 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
115 rspa 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
1161153adant3 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
117114, 116eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
1181173adant1l 1184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
11948, 57, 58, 113, 118letrd 10395 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵𝑤)
1201193exp 1111 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
121120adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
12244, 45, 121rexlimd 3173 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥𝐵𝑤))
12339, 122mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐵𝑤)
124123ex 397 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧𝐶𝐵𝑤))
12531, 124ralrimi 3105 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
126125ex 397 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
127126reximdva 3164 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
12816, 127mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  {cab 2756  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  wss 3721  c0 4061  ifcif 4223   cuni 4572   class class class wbr 4784  Fincfn 8108  supcsup 8501  cr 10136  0cc0 10137   < clt 10275  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40904  fourierdlem71  40905  fourierdlem80  40914
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