MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfii 8366
Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21intsn 4545 . . . 4 {𝑥} = 𝑥
3 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝐴𝑉)
4 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54snssd 4372 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
61snnz 4340 . . . . . 6 {𝑥} ≠ ∅
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8 snfi 8079 . . . . . 6 {𝑥} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10 elfir 8362 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1368 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
122, 11syl5eqelr 2735 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
1312ex 449 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
1413ssrdv 3642 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wne 2823  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   cint 4507  cfv 5926  Fincfn 7997  ficfi 8357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358
This theorem is referenced by:  fieq0  8368  dffi2  8370  inficl  8372  fiuni  8375  dffi3  8378  inffien  8924  fictb  9105  ordtbas2  21043  ordtbas  21044  ordtopn1  21046  ordtopn2  21047  leordtval2  21064  subbascn  21106  2ndcsb  21300  ptbasfi  21432  xkoopn  21440  fsubbas  21718  fbunfip  21720  isufil2  21759  ufileu  21770  filufint  21771  fmfnfmlem4  21808  fmfnfm  21809  hausflim  21832  flimclslem  21835  fclsfnflim  21878  flimfnfcls  21879  fclscmp  21881  alexsubb  21897  alexsubALTlem4  21901  ordtconnlem1  30098  topjoin  32485
  Copyright terms: Public domain W3C validator