Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfv2 30787
 Description: Value of the strong sequence builder function. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
sseqfv2.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
Assertion
Ref Expression
sseqfv2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sseqfv2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . . 4 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
4 sseqval.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
51, 2, 3, 4sseqval 30781 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
65fveq1d 6356 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))))‘𝑁))
7 wrdfn 13526 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
9 fvex 6364 . . . . . 6 (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
10 df-lsw 13507 . . . . . 6 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
119, 10fnmpti 6184 . . . . 5 lastS Fn V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → lastS Fn V)
13 lencl 13531 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 11693 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
16 seqfn 13028 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
18 ssv 3767 . . . . 5 ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
20 fnco 6161 . . . 4 ((lastS Fn V ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)) ∧ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
2112, 17, 19, 20syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
22 fzouzdisj 12719 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅)
24 sseqfv2.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
25 fvun2 6434 . . 3 ((𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)) ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)) ∧ (((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))) → ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = ((lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))‘𝑁))
268, 21, 23, 24, 25syl112anc 1481 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = ((lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))‘𝑁))
27 fnfun 6150 . . . 4 (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)) → Fun seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))
2817, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))
29 fvexd 6366 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(♯‘𝑀)) ∈ V)
30 ovexd 6845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ V)
31 eqid 2761 . . . . . 6 (ℤ‘(♯‘𝑀)) = (ℤ‘(♯‘𝑀))
32 fvexd 6366 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘((♯‘𝑀) + 1))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ V)
3329, 30, 31, 15, 32seqf2 13035 . . . . 5 (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶V)
34 fdm 6213 . . . . 5 (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶V → dom seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) = (ℤ‘(♯‘𝑀)))
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) = (ℤ‘(♯‘𝑀)))
3624, 35eleqtrrd 2843 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ dom seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))
37 fvco 6438 . . 3 ((Fun seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ∧ 𝑁 ∈ dom seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) → ((lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))‘𝑁) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
3828, 36, 37syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))‘𝑁) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
396, 26, 383eqtrd 2799 1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ∪ cun 3714   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059  {csn 4322   × cxp 5265  ◡ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268   “ cima 5270   ∘ ccom 5271  Fun wfun 6044   Fn wfn 6045  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↦ cmpt2 6817  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   − cmin 10479  ℕ0cn0 11505  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900  ..^cfzo 12680  seqcseq 13016  ♯chash 13332  Word cword 13498  lastSclsw 13499   ++ cconcat 13500  ⟨“cs1 13501  seqstrcsseq 30776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-word 13506  df-lsw 13507  df-s1 13509  df-sseq 30777 This theorem is referenced by:  sseqp1  30788
 Copyright terms: Public domain W3C validator