Theorem sseqfv1 30752

Description: Value of the strong sequence builder function at one of its initial values. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
sseqfv1.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
sseqfv1	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))

Proof of Theorem sseqfv1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
4		sseqval.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
5	1, 2, 3, 4	sseqval 30751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
6	5	fveq1d 6346	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁))
7		wrdfn 13497	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
9		fvex 6354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
10		df-lsw 13478	. . . . . 6 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
11	9, 10	fnmpti 6175	. . . . 5 ⊢ lastS Fn V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → lastS Fn V)
13		lencl 13502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 11664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
16		seqfn 12999	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
18		ssv 3758	. . . . 5 ⊢ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
20		fnco 6152	. . . 4 ⊢ (( lastS Fn V ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
21	12, 17, 19, 20	syl3anc 1473	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
22		fzouzdisj 12690	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
24		sseqfv1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
25		fvun1 6423	. . 3 ⊢ ((𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)) ∧ ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ (((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))) → ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))
26	8, 21, 23, 24, 25	syl112anc 1477	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))
27	6, 26	eqtrd 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ∪ cun 3705   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  {csn 4313   × cxp 5256  ^◡ccnv 5257  ran crn 5259   “ cima 5261   ∘ ccom 5262   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807  0cc0 10120  1c1 10121   − cmin 10450  ℕ₀cn0 11476  ℤcz 11561  ℤ_≥cuz 11871  ..^cfzo 12651  seqcseq 12987  ♯chash 13303  Word cword 13469   lastS clsw 13470   ++ cconcat 13471  ⟨“cs1 13472  seq_strcsseq 30746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-word 13477  df-lsw 13478  df-s1 13480  df-sseq 30747

This theorem is referenced by:  sseqfres  30756  fib0  30762  fib1  30763