Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 30582
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqf (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13342 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
4 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
7 df-lsw 13332 . . . . . . . . 9 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
86, 7dmmpti 6061 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS )
10 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12 inss1 3866 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
1311, 12eqsstri 3668 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ Word 𝑆
1413sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊𝑤 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 13388 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word 𝑆𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
199, 18jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 6060 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 6026 . . . . . 6 ( lastS Fn V → Fun lastS )
23 ffvresb 6434 . . . . . 6 (Fun lastS → (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26 eqid 2651 . . . . 5 (ℤ‘(#‘𝑀)) = (ℤ‘(#‘𝑀))
27 lencl 13356 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11518 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
30 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
31 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
34 elnn0uz 11763 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
36 uztrn 11742 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) ∧ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
3731, 35, 36syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
38 nn0uz 11760 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3937, 38syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40 fvconst2g 6508 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4130, 39, 40sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 30581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑊)
4542, 44ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
4645s1cld 13419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V)
50 ccatws1len 13437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
52 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
53 peano2uz 11779 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5551, 54eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
56 hashf 13165 . . . . . . . . . . . 12 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57 ffn 6083 . . . . . . . . . . . 12 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
58 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . 12 (# Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6049, 55, 59sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6148, 60elind 3831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
6261, 11syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
6362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64 ccatws1n0 13453 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
651, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67 eldifsn 4350 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅))
6863, 66, 67sylanbrc 699 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
6941, 68eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)))
71 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
7372s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
7471, 73oveq12d 6708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
75 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V)
8170, 74, 76, 78, 80ovmpt2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
82 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎𝑊)
8382ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎𝑊)
8413, 83sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
8542adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8685, 83ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
8786s1cld 13419 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88 ccatcl 13392 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
8984, 87, 88syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
9013, 82sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
9190ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92 ccatws1len 13437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9483, 11syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
9594elin2d 3836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
96 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (# Fn V → (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
9756, 57, 96mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
9895, 97sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
99 peano2uz 11779 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
10098, 99simpl2im 657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
10193, 100eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
102 elpreima 6377 . . . . . . . . . . 11 (# Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10356, 57, 102mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10480, 101, 103sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10589, 104elind 3831 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
106105, 11syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107 ccatws1n0 13453 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
10891, 107syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109 eldifsn 4350 . . . . . . 7 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110106, 108, 109sylanbrc 699 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11181, 110eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11226, 29, 69, 111seqf 12862 . . . 4 (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113 fco2 6097 . . . 4 ((( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
11425, 112, 113syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
115 fzouzdisj 12543 . . . 4 ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅
116115a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅)
117 fun 6104 . . 3 (((𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆 ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
1183, 114, 116, 117syl21anc 1365 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
11943, 1, 11, 42sseqval 30578 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
120 fzouzsplit 12542 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12134, 120sylbi 207 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
1221, 27, 1213syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12338, 122syl5eq 2697 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
124 unidm 3789 . . . . 5 (𝑆𝑆) = 𝑆
125124a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑆) = 𝑆)
126125eqcomd 2657 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑆𝑆))
127119, 123, 126feq123d 6072 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆)))
128118, 127mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  c0 3948  {csn 4210   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  seqcseq 12841  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  seqstrcsseq 30573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-sseq 30574
This theorem is referenced by:  sseqp1  30585  fibp1  30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator