MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdomg 7998
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4802 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 477 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 6172 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 6141 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 220 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 474 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 6113 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 6054 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 706 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 5918 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 5535 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 5907 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 221 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 5964 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 561 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 5891 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 224 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 7970 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1325 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 451 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  Vcvv 3198  wss 3572   class class class wbr 4651   I cid 5021  ccnv 5111  cres 5114  Fun wfun 5880  wf 5882  1-1wf1 5883  ontowfo 5884  1-1-ontowf1o 5885  cdom 7950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-dom 7954
This theorem is referenced by:  cnvct  8030  ssct  8038  undom  8045  xpdom3  8055  domunsncan  8057  0domg  8084  domtriord  8103  sdomel  8104  sdomdif  8105  onsdominel  8106  pwdom  8109  2pwuninel  8112  mapdom1  8122  mapdom3  8129  limenpsi  8132  php  8141  php2  8142  php3  8143  onomeneq  8147  nndomo  8151  sucdom2  8153  unbnn  8213  nnsdomg  8216  fodomfi  8236  fidomdm  8240  pwfilem  8257  hartogslem1  8444  hartogs  8446  card2on  8456  wdompwdom  8480  wdom2d  8482  wdomima2g  8488  unxpwdom2  8490  unxpwdom  8491  harwdom  8492  r1sdom  8634  tskwe  8773  carddomi2  8793  cardsdomelir  8796  cardsdomel  8797  harcard  8801  carduni  8804  cardmin2  8821  infxpenlem  8833  ssnum  8859  acnnum  8872  fodomfi2  8880  inffien  8883  alephordi  8894  dfac12lem2  8963  cdadom3  9007  cdainflem  9010  cdainf  9011  unctb  9024  infunabs  9026  infcda  9027  infdif  9028  infdif2  9029  infmap2  9037  ackbij2  9062  fictb  9064  cfslb  9085  fincssdom  9142  fin67  9214  fin1a2lem12  9230  axcclem  9276  dmct  9343  brdom3  9347  brdom5  9348  brdom4  9349  imadomg  9353  fnct  9356  mptct  9357  ondomon  9382  alephval2  9391  alephadd  9396  alephmul  9397  alephexp1  9398  alephsuc3  9399  alephexp2  9400  alephreg  9401  pwcfsdom  9402  cfpwsdom  9403  canthnum  9468  pwfseqlem5  9482  pwxpndom2  9484  pwcdandom  9486  gchaleph  9490  gchaleph2  9491  gchac  9500  winainflem  9512  gchina  9518  tsksdom  9575  tskinf  9588  inttsk  9593  inar1  9594  inatsk  9597  tskord  9599  tskcard  9600  grudomon  9636  gruina  9637  axgroth2  9644  axgroth6  9647  grothac  9649  hashun2  13167  hashss  13192  hashsslei  13208  isercoll  14392  o1fsum  14539  incexc2  14564  znnen  14935  qnnen  14936  rpnnen  14950  ruc  14966  phicl2  15467  phibnd  15470  4sqlem11  15653  vdwlem11  15689  0ram  15718  mreexdomd  16304  pgpssslw  18023  fislw  18034  cctop  20804  1stcfb  21242  2ndc1stc  21248  1stcrestlem  21249  2ndcctbss  21252  2ndcdisj2  21254  2ndcsep  21256  dis2ndc  21257  csdfil  21692  ufilen  21728  opnreen  22628  rectbntr0  22629  ovolctb2  23254  uniiccdif  23340  dyadmbl  23362  opnmblALT  23365  vitali  23376  mbfimaopnlem  23416  mbfsup  23425  fta1blem  23922  aannenlem3  24079  ppiwordi  24882  musum  24911  ppiub  24923  chpub  24939  dchrisum0re  25196  dirith2  25211  upgrex  25981  rabfodom  29328  abrexdomjm  29329  mptctf  29480  locfinreflem  29892  esumcst  30110  omsmeas  30370  sibfof  30387  subfaclefac  31143  erdszelem10  31167  snmlff  31296  finminlem  32296  phpreu  33373  lindsdom  33383  poimirlem26  33415  mblfinlem1  33426  abrexdom  33505  heiborlem3  33592  ctbnfien  37208  pellexlem4  37222  pellexlem5  37223  ttac  37429  idomodle  37600  idomsubgmo  37602  uzct  39058  smfaddlem2  40741  smfmullem4  40770  smfpimbor1lem1  40774  aacllem  42318
  Copyright terms: Public domain W3C validator