MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssclem 16460
Description: Lemma for ssc1 16462 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isssc.1 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ssclem (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem
StepHypRef Expression
1 dmxpid 5334 . . 3 dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2 isssc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 fndm 5978 . . . . . . 7 (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
6 dmexg 7082 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
85, 7eqeltrrd 2700 . . . 4 ((𝜑𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9 dmexg 7082 . . . 4 ((𝑆 × 𝑆) ∈ V → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
111, 10syl5eqelr 2704 . 2 ((𝜑𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
12 sqxpexg 6948 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
13 fnex 6466 . . 3 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
142, 12, 13syl2an 494 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
1511, 14impbida 876 1 (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   × cxp 5102  dom cdm 5104   Fn wfn 5871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884
This theorem is referenced by:  ssc1  16462
  Copyright terms: Public domain W3C validator