MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssclem 16685
Description: Lemma for ssc1 16687 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isssc.1 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ssclem (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem
StepHypRef Expression
1 dmxpid 5483 . . 3 dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2 isssc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 fndm 6130 . . . . . . 7 (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
54adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
6 dmexg 7243 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
76adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
85, 7eqeltrrd 2850 . . . 4 ((𝜑𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9 dmexg 7243 . . . 4 ((𝑆 × 𝑆) ∈ V → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
111, 10syl5eqelr 2854 . 2 ((𝜑𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
12 sqxpexg 7109 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
13 fnex 6624 . . 3 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
142, 12, 13syl2an 575 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
1511, 14impbida 794 1 (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349   × cxp 5247  dom cdm 5249   Fn wfn 6026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039
This theorem is referenced by:  ssc1  16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator