MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssbl 22350
Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssbl (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem ssbl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1216 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simp1r 1217 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑃𝑋)
3 simp2l 1218 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 simp2r 1219 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑆 ∈ ℝ*)
5 xmet0 22269 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
653ad2ant1 1125 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
7 0re 10153 . . 3 0 ∈ ℝ
86, 7syl6eqel 2811 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) ∈ ℝ)
9 simp3 1130 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
10 xsubge0 12205 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ↔ 𝑅𝑆))
114, 3, 10syl2anc 696 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ↔ 𝑅𝑆))
129, 11mpbird 247 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
136, 12eqbrtrd 4782 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
141, 2, 2, 3, 4, 8, 13xblss2 22329 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  *cxr 10186  cle 10188  -𝑒cxne 12057   +𝑒 cxad 12058  ∞Metcxmt 19854  ballcbl 19856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-2 11192  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-bl 19864
This theorem is referenced by:  blss  22352  ssblex  22355  blssec  22362  metequiv2  22437  met1stc  22448  met2ndci  22449  metdstri  22776  xlebnum  22886  iscmet3lem2  23211  caubl  23227  ptrecube  33641  heiborlem8  33849
  Copyright terms: Public domain W3C validator