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Theorem ss2iundf 38268
Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ss2iundf.xph 𝑥𝜑
ss2iundf.yph 𝑦𝜑
ss2iundf.y 𝑦𝑌
ss2iundf.a 𝑦𝐴
ss2iundf.b 𝑦𝐵
ss2iundf.xc 𝑥𝐶
ss2iundf.yc 𝑦𝐶
ss2iundf.d 𝑥𝐷
ss2iundf.g 𝑦𝐺
ss2iundf.el ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
ss2iundf.sub ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
ss2iundf.ss ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
Assertion
Ref Expression
ss2iundf (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ss2iundf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ss2iundf.xph . . 3 𝑥𝜑
2 ss2iundf.ss . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
3 df-ral 2946 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷))
4 ss2iundf.el . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
5 ss2iundf.yph . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜑
6 ss2iundf.a . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
76nfcri 2787 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑥𝐴
85, 7nfan 1868 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥𝐴)
9 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
109eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑦𝐶𝑌𝐶))
1110biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑌𝐶𝑦𝐶))
12 ss2iundf.sub . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
1312sseq2d 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
14133expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
1514notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 ↔ ¬ 𝐵𝐺))
1615biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
1711, 16imim12d 81 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
1817ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
198, 18alrimi 2120 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
20 ss2iundf.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑌
21 ss2iundf.yc . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐶
2220, 21nfel 2806 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑌𝐶
23 ss2iundf.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
24 ss2iundf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐺
2523, 24nfss 3629 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵𝐺
2625nfn 1824 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ¬ 𝐵𝐺
2722, 26nfim 1865 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)
2827, 20spcimgft 3315 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))) → (𝑌𝐶 → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
2919, 4, 28sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
304, 29mpid 44 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐵𝐺))
313, 30syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
3231con2d 129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷))
33 dfrex2 3025 . . . . . 6 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 ↔ ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷)
3432, 33syl6ibr 242 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷))
352, 34mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷)
3635ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷))
371, 36ralrimi 2986 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷)
38 ssel 3630 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧𝐷))
3938reximi 3040 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷))
4023nfcri 2787 . . . . . . . 8 𝑦 𝑧𝐵
4140r19.37 3115 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷) → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
4239, 41syl 17 . . . . . 6 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
43 eliun 4556 . . . . . 6 (𝑧 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷)
4442, 43syl6ibr 242 . . . . 5 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
4544ssrdv 3642 . . . 4 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
4645ralimi 2981 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
47 df-iun 4554 . . . . 5 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵}
4847sseq1i 3662 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵} ⊆ 𝑦𝐶 𝐷)
49 abss 3704 . . . 4 ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵} ⊆ 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
50 dfss2 3624 . . . . . 6 (𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5150ralbii 3009 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
52 ralcom4 3255 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑧𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
53 ss2iundf.xc . . . . . . . . 9 𝑥𝐶
54 ss2iundf.d . . . . . . . . 9 𝑥𝐷
5553, 54nfiun 4580 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦𝐶 𝐷
5655nfcri 2787 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 𝑦𝐶 𝐷
5756r19.23 3051 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5857albii 1787 . . . . 5 (∀𝑧𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5951, 52, 583bitrri 287 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6048, 49, 593bitri 286 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6146, 60sylibr 224 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6237, 61syl 17 1 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  {cab 2637  wnfc 2780  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   ciun 4552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-v 3233  df-in 3614  df-ss 3621  df-iun 4554
This theorem is referenced by:  ss2iundv  38269  cbviuneq12df  38270
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