Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srhmsubcALTV 42521
Description: According to df-subc 16594, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 ( see subcssc 16622 and subcss2 16625). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubcALTV.s 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubcALTV.c 𝐶 = (𝑈𝑆)
srhmsubcALTV.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubcALTV (𝑈𝑉𝐽 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubcALTV
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srhmsubcALTV.c . . . 4 𝐶 = (𝑈𝑆)
2 eleq1 2791 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 ∈ Ring ↔ 𝑥 ∈ Ring))
3 srhmsubcALTV.s . . . . . . 7 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
42, 3vtoclri 3387 . . . . . 6 (𝑥𝑆𝑥 ∈ Ring)
54ssriv 3713 . . . . 5 𝑆 ⊆ Ring
6 sslin 3947 . . . . 5 (𝑆 ⊆ Ring → (𝑈𝑆) ⊆ (𝑈 ∩ Ring))
75, 6mp1i 13 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈𝑆) ⊆ (𝑈 ∩ Ring))
81, 7syl5eqss 3755 . . 3 (𝑈𝑉𝐶 ⊆ (𝑈 ∩ Ring))
9 ssid 3730 . . . . . 6 (𝑥 RingHom 𝑦) ⊆ (𝑥 RingHom 𝑦)
10 eqid 2724 . . . . . . 7 (RingCatALTV‘𝑈) = (RingCatALTV‘𝑈)
11 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))
12 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑈𝑉)
13 eqid 2724 . . . . . . 7 (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))
143, 1srhmsubcALTVlem1 42519 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
1514adantrr 755 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
163, 1srhmsubcALTVlem1 42519 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
1716adantrl 754 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
1810, 11, 12, 13, 15, 17ringchomALTV 42475 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
199, 18syl5sseqr 3760 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥 RingHom 𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
20 srhmsubcALTV.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
22 oveq12 6774 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑦) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑦))
2322adantl 473 . . . . . 6 (((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑦)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑦))
24 simprl 811 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑥𝐶)
25 simprr 813 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
26 ovexd 6795 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥 RingHom 𝑦) ∈ V)
2721, 23, 24, 25, 26ovmpt2d 6905 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
28 eqid 2724 . . . . . 6 (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈))
2928, 11, 13, 15, 17homfval 16474 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦) = (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
3019, 27, 293sstr4d 3754 . . . 4 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
3130ralrimivva 3073 . . 3 (𝑈𝑉 → ∀𝑥𝐶𝑦𝐶 (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
32 ovex 6793 . . . . . 6 (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
3320, 32fnmpt2i 7359 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
3433a1i 11 . . . 4 (𝑈𝑉𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
3528, 11homffn 16475 . . . . 5 (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) Fn ((Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) × (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑉𝑈𝑉)
3710, 11, 36ringcbasALTV 42473 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉 → (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
3837eqcomd 2730 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
3938sqxpeqd 5250 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) × (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))))
4039fneq2d 6095 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) ↔ (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) Fn ((Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) × (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))))
4135, 40mpbiri 248 . . . 4 (𝑈𝑉 → (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
42 inex1g 4909 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
4334, 41, 42isssc 16602 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐽cat (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑈 ∩ Ring) ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐶 (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))))
448, 31, 43mpbir2and 995 . 2 (𝑈𝑉𝐽cat (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)))
451elin2 3909 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 ↔ (𝑥𝑈𝑥𝑆))
464adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑈𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ Ring)
4745, 46sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑥𝐶𝑥 ∈ Ring)
4847adantl 473 . . . . . 6 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ Ring)
49 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
5049idrhm 18854 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
5148, 50syl 17 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
52 eqid 2724 . . . . . 6 (Id‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RingCatALTV‘𝑈))
53 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → 𝑈𝑉)
5410, 11, 52, 53, 14, 49ringcidALTV 42481 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → ((Id‘(RingCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
5520a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
56 oveq12 6774 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑥) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑥))
5756adantl 473 . . . . . 6 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑥)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑥))
58 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
59 ovexd 6795 . . . . . 6 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → (𝑥 RingHom 𝑥) ∈ V)
6055, 57, 58, 58, 59ovmpt2d 6905 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → (𝑥𝐽𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
6151, 54, 603eltr4d 2818 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → ((Id‘(RingCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
62 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (comp‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RingCatALTV‘𝑈))
6310ringccatALTV 42480 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉 → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
6463ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
6514adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
6665adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
6716ad2ant2r 800 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
6867adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
693, 1srhmsubcALTVlem1 42519 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑉𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
7069ad2ant2rl 802 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
7170adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
7253adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑈𝑉)
73 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐶𝑧𝐶) → 𝑦𝐶)
7458, 73anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
7572, 74jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)))
763, 1, 20srhmsubcALTVlem2 42520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
7877eleq2d 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦)))
7978biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) → (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦)))
8079adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦)))
8180impcom 445 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑦))
823, 1, 20srhmsubcALTVlem2 42520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
8382adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
8483eleq2d 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)))
8584biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)))
8685adantld 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)))
8786imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
8811, 13, 62, 64, 66, 68, 71, 81, 87catcocl 16468 . . . . . . . 8 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
8910, 11, 72, 13, 65, 70ringchomALTV 42475 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
9089eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥 RingHom 𝑧) = (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
9190adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑥 RingHom 𝑧) = (𝑥(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧))
9288, 91eleqtrrd 2806 . . . . . . 7 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
9320a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
94 oveq12 6774 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑧) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑧))
9594adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑧)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑧))
9658adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑥𝐶)
97 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
98 ovexd 6795 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥 RingHom 𝑧) ∈ V)
9993, 95, 96, 97, 98ovmpt2d 6905 . . . . . . . 8 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝑥𝐽𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
10099adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑥𝐽𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
10192, 100eleqtrrd 2806 . . . . . 6 ((((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧))
102101ralrimivva 3073 . . . . 5 (((𝑈𝑉𝑥𝐶) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧))
103102ralrimivva 3073 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → ∀𝑦𝐶𝑧𝐶𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧))
10461, 103jca 555 . . 3 ((𝑈𝑉𝑥𝐶) → (((Id‘(RingCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑦𝐶𝑧𝐶𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))
105104ralrimiva 3068 . 2 (𝑈𝑉 → ∀𝑥𝐶 (((Id‘(RingCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑦𝐶𝑧𝐶𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))
10628, 52, 62, 63, 34issubc2 16618 . 2 (𝑈𝑉 → (𝐽 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐽cat (Homf ‘(RingCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥𝐶 (((Id‘(RingCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑦𝐶𝑧𝐶𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))))
10744, 105, 106mpbir2and 995 1 (𝑈𝑉𝐽 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  cop 4291   class class class wbr 4760   I cid 5127   × cxp 5216  cres 5220   Fn wfn 5996  cfv 6001  (class class class)co 6765  cmpt2 6767  Basecbs 15980  Hom chom 16075  compcco 16076  Catccat 16447  Idccid 16448  Homf chomf 16449  cat cssc 16589  Subcatcsubc 16591  Ringcrg 18668   RingHom crh 18835  RingCatALTVcringcALTV 42431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-cat 16451  df-cid 16452  df-homf 16453  df-ssc 16592  df-subc 16594  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-grp 17547  df-ghm 17780  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-rnghom 18838  df-ringcALTV 42433
This theorem is referenced by:  sringcatALTV  42522  crhmsubcALTV  42523  drhmsubcALTV  42525  fldhmsubcALTV  42529
  Copyright terms: Public domain W3C validator