Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 18582
 Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 18651. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 18555 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 553 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 18558 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763com23 1291 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
873expa 1284 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
108, 9fmptd 6425 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
11 3anrot 1060 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵))
12 3anass 1059 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
1311, 12bitr3i 266 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
14 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
154, 14, 5srgdir 18563 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1613, 15sylan2br 492 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1716anassrs 681 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
184, 14srgacl 18570 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19183expb 1285 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2019adantlr 751 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
21 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
22 ovex 6718 . . . . . . 7 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
2321, 9, 22fvmpt 6321 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
2420, 23syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
25 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑎 · 𝑋) ∈ V
2725, 9, 26fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑏 · 𝑋) ∈ V
3028, 9, 29fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
3127, 30oveqan12d 6709 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3231adantl 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3317, 24, 323eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
3433ralrimivva 3000 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
364, 35srg0cl 18565 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
38 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
39 ovex 6718 . . . . . 6 ((0g𝑅) · 𝑋) ∈ V
4038, 9, 39fvmpt 6321 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
424, 5, 35srglz 18573 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
4341, 42eqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4410, 34, 433jca 1261 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
454, 4, 14, 14, 35, 35ismhm 17384 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
463, 44, 45sylanbrc 699 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  SRingcsrg 18551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-srg 18552 This theorem is referenced by:  srgsummulcr  18583
 Copyright terms: Public domain W3C validator