MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 18742
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t · = (.g𝑅)
srgpcomppsc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
3 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 18718 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 srgpcompp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
8 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
93, 8mgpbas 18703 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
10 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
119, 10mulgnn0cl 17766 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
125, 6, 7, 11syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
13 srgpcomp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
14 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
159, 10mulgnn0cl 17766 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
165, 13, 14, 15syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
17 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
18 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
198, 17, 18srgmulgass 18739 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
2019eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
211, 2, 12, 16, 20syl13anc 1478 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
2221oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
23 srgmnd 18717 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
241, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
258, 17mulgnn0cl 17766 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
2624, 2, 12, 25syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
278, 18srgass 18721 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
281, 26, 16, 7, 27syl13anc 1478 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
2922, 28eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
308, 18srgcl 18720 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
311, 16, 7, 30syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
328, 17, 18srgmulgass 18739 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
331, 2, 12, 31, 32syl13anc 1478 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
348, 18srgass 18721 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
351, 12, 16, 7, 34syl13anc 1478 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
3635eqcomd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
3736oveq2d 6809 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
3833, 37eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
39 srgpcomp.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
408, 18, 3, 10, 1, 7, 14, 13, 39, 6srgpcompp 18741 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
4140oveq2d 6809 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
4229, 38, 413eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141  0cn0 11494  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  SRingcsrg 18713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18750
  Copyright terms: Public domain W3C validator