Theorem srgfcl 18561

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgfcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · Fn (𝐵 × 𝐵))
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	srgcl 18558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
6	5	ralrimivva 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
7		fveq2 6229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ( · ‘𝑐) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8	7	eleq1d 2715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵))
9		df-ov 6693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 · 𝑏) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
10	9	eqcomi 2660	. . . . . . . 8 ⊢ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝑎 · 𝑏)
11	10	eleq1i 2721	. . . . . . 7 ⊢ (( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵))
13	12	ralxp 5296	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
14	6, 13	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
16		fnfvrnss 6430	. . 3 ⊢ (( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵) → ran · ⊆ 𝐵)
17	1, 15, 16	syl2anc 694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ran · ⊆ 𝐵)
18		df-f 5930	. 2 ⊢ ( · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ran · ⊆ 𝐵))
19	1, 17, 18	sylanbrc 699	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ⟨cop 4216   × cxp 5141  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989  SRingcsrg 18551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mgp 18536  df-srg 18552

This theorem is referenced by: (None)