MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 18713
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 18715. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21adantl 473 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
32oveq1d 6816 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
4 srgbinom.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
7 srgcmn 18679 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11 elfzelz 12506 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13274 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
139, 11, 12syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14 fznn0sub 12537 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16 elfznn0 12597 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1465 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 18503 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
28 srgmnd 18680 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
30 ovexd 6831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝜑𝜑)
329nn0zd 11643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332peano2zd 11648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34 bccl 13274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
359, 33, 34syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
369nn0cnd 11516 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
37 peano2cn 10371 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3938subidd 10543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40 0nn0 11470 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
4139, 40syl6eqel 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42 peano2nn0 11496 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1465 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
46 oveq2 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
4847oveq1d 6816 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴))
49 oveq1 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑁 + 1) 𝐵))
5048, 49oveq12d 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)))
5146, 50oveq12d 6819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
524, 51gsumsn 18525 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1463 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
549nn0red 11515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5554ltp1d 11117 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
5655olcd 407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57 bcval4 13259 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1463 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
5958oveq1d 6816 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 18711 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
6131, 41, 43, 60syl12anc 1461 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
62 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
634, 62, 19mulg0 17718 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6553, 59, 643eqtrd 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (0g𝑅))
6665oveq2d 6817 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)))
67 fzfid 12937 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69 bccl2 13275 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
7069nnnn0d 11514 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7170adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72 fzelp1 12557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7372, 15sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74 elfznn0 12597 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1465 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3092 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
784, 8, 67, 77gsummptcl 18537 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
794, 5, 62mndrid 17484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8029, 78, 79syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8127, 66, 803eqtrd 2786 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
826adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
8322adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
8423adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
8524adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86 fznn0sub 12537 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8786adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 18705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
8936adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90 1cnd 10219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91 elfzelz 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291zcnd 11646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9392adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9489, 90, 93addsubd 10576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
9594oveq1d 6816 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁𝑘) + 1) 𝐴))
9695oveq1d 6816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))
9796oveq2d 6817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9888, 97eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9998mpteq2dva 4884 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
10099oveq2d 6817 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
101 ovexd 6831 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1465 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
104 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
105 ovexd 6831 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
106 fvexd 6352 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 8439 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 18708 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
10981, 100, 1083eqtr2rd 2789 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
110109adantr 472 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1113, 110eqtrd 2782 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  {csn 4309   class class class wbr 4792  cmpt 4869  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cmin 10429  0cn0 11455  cz 11540  ...cfz 12490  Ccbc 13254  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274  Mndcmnd 17466  .gcmg 17712  CMndccmn 18364  mulGrpcmgp 18660  SRingcsrg 18676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-srg 18677
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  18715
  Copyright terms: Public domain W3C validator