Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralem 19399
 Description: Lemma for srabase 19400 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralem (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralem
StepHypRef Expression
1 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21adantl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sraval 19398 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53, 4sylan2 492 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
62, 5eqtrd 2794 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
76fveq2d 6357 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
8 sralem.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
9 sralem.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxid 16105 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11 sralem.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
129nnrei 11241 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
13 5re 11311 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
1412, 13ltnei 10373 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
1514necomd 2987 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16 5lt8 11429 . . . . . . . . . 10 5 < 8
17 8re 11317 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1813, 17, 12lttri 10375 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
1916, 18mpan 708 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
2013, 12ltnei 10373 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2215, 21jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
2311, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
248, 9ndxarg 16104 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
25 scandx 16235 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
2624, 25neeq12i 2998 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2723, 26mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
2810, 27setsnid 16137 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
29 5lt6 11416 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
30 6re 11313 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
3112, 13, 30lttri 10375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
3229, 31mpan2 709 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
3312, 30ltnei 10373 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
3534necomd 2987 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36 6lt8 11428 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3730, 17, 12lttri 10375 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3836, 37mpan 708 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3930, 12ltnei 10373 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4135, 40jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
4211, 41ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
43 vscandx 16237 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
4424, 43neeq12i 2998 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
4542, 44mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4610, 45setsnid 16137 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
4712, 13, 17lttri 10375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
4816, 47mpan2 709 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
4912, 17ltnei 10373 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
5150necomd 2987 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
5217, 12ltnei 10373 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
5351, 52jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
5411, 53ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
55 ipndx 16244 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
5624, 55neeq12i 2998 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5754, 56mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
5810, 57setsnid 16137 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5928, 46, 583eqtri 2786 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
607, 59syl6reqr 2813 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
618str0 16133 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6347 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 472 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fvprc 6347 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
6564fveq1d 6355 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
66 0fv 6389 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
6765, 66syl6eq 2810 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
681, 67sylan9eqr 2816 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6968fveq2d 6357 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
7061, 63, 693eqtr4a 2820 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
7160, 70pm2.61ian 866 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   < clt 10286  ℕcn 11232  5c5 11285  6c6 11286  8c8 11288  ndxcnx 16076   sSet csts 16077  Slot cslot 16078  Basecbs 16079   ↾s cress 16080  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  ·𝑖cip 16168  subringAlg csra 19390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-sets 16086  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-sra 19394 This theorem is referenced by:  srabase  19400  sraaddg  19401  sramulr  19402  sratset  19406  srads  19408  cchhllem  25987
 Copyright terms: Public domain W3C validator