MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraip 19398
Description: The inner product operation of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sraip (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))

Proof of Theorem sraip
StepHypRef Expression
1 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21adantl 467 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sraval 19391 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53, 4sylan2 580 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
62, 5eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
76fveq2d 6336 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
8 ovex 6823 . . . 4 ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V
9 fvex 6342 . . . 4 (.r𝑊) ∈ V
10 ipid 16231 . . . . 5 ·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx)
1110setsid 16121 . . . 4 ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
128, 9, 11mp2an 672 . . 3 (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
137, 12syl6reqr 2824 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
1410str0 16118 . . 3 ∅ = (·𝑖‘∅)
15 fvprc 6326 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
1615adantr 466 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
17 fvprc 6326 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
1817fveq1d 6334 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
19 0fv 6368 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
2018, 19syl6eq 2821 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
211, 20sylan9eqr 2827 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
2221fveq2d 6336 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘∅))
2314, 16, 223eqtr4a 2831 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
2413, 23pm2.61ian 813 1 (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Basecbs 16064  s cress 16065  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  ·𝑖cip 16154  subringAlg csra 19383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-ip 16167  df-sra 19387
This theorem is referenced by:  frlmip  20334  rrxip  23397
  Copyright terms: Public domain W3C validator