Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 40968
Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 24431 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10555 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10253 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 40010 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10373 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24433 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10373 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12453 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1427 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 elioore 12419 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 1re 10252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 10555 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16keepel 4300 . . . . . . 7 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1918fvmpt2 6455 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 10281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
2320, 22eqeltrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nncnd 11249 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2714recnd 10281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2826, 27mulcld 10273 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
2928sincld 15080 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
3023, 29mulcld 10273 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31 elioore 12419 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 24434 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 12069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2836 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 12889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 24432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43422timesi 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 10265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π + π) = 0
5049oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addid2i 10437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 π = (-π + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10310 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
61 0xr 10299 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 40239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6360, 61, 62mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 10851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6658recni 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6766mulid2i 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
6968oveq2i 6826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7069oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 10282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 10398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76 iooltub 40257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 10851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8079addid2d 10450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 12910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84 1zzd 11621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85 modcyc 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 10399 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9089iffalsed 4242 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9291adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
9493mpteq2dva 4897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95 neg1cn 11337 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9724nnred 11248 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 10283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100resincld 15093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 12473 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 23554 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 12469 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 10283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111resincld 15093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 10254 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 sincn 24418 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 10206 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3754 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119 ssid 3766 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121118, 25, 120constcncfg 40606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122118, 120idcncfg 40607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123121, 122mulcncf 23436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124115, 123cncfmpt1f 22938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125 cniccibl 23827 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 23791 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 23817 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ*)
1311rexri 10310 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
133 elioore 12419 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135 0red 10254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137 ioogtlb 40239 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
13861, 131, 137mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 10411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140 iooltub 40257 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
14161, 131, 140mp3an12 1563 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 40242 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143142, 20sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 10398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 40018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < (2 · π)
150149, 34breqtrri 4832 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 10411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 141eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4239 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157156adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = 1)
159158oveq1d 6830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160142, 29sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161160mulid2d 10271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162159, 161eqtrd 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163162mpteq2dva 4897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164 ioossicc 12473 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166 ioombl 23554 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16897adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 12469 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1705, 1, 169mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
171170sseli 3741 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 10283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174173resincld 15093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3754 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177176, 25, 120constcncfg 40606 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 120idcncfg 40607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 178mulcncf 23436 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180115, 179cncfmpt1f 22938 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181 cniccibl 23827 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 23791 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 23824 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 6830 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18791oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188187adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 10411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 40242 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193192, 29sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194193mulm1d 10695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195188, 194eqtrd 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196195itgeq2dv 23768 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197101, 127itgneg 23790 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
19824nnne0d 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 40712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
20124nnzd 11694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
202 cosknegpi 40602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 10448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205204fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206 cos0 15100 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
207205, 206syl6eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209 1m1e0 11302 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
210 iftrue 4237 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212 iftrue 4237 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2821 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4240 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216 ax-1cn 10207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
217 negdi2 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218216, 216, 217mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 − 1)
219218eqcomi 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 − 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221 iffalse 4240 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
222 1p1e2 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
223222negeqi 10487 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
224221, 223syl6reqr 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 176 . . . . . . . . . . 11 (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227208, 226syl6eq 2811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 10488 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 10245 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
232 2cn 11304 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
233232negcli 10562 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℂ
234231, 233keepel 4300 . . . . . . . . 9 if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236235, 25, 198divnegd 11027 . . . . . . 7 (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 10540 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 10488 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2821 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 10564 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242221negeqd 10488 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4240 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2821 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 6825 . . . . . . . 8 (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2801 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
252251oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253252adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254253, 161eqtrd 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255254itgeq2dv 23768 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ π)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 40712 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258 coskpi2 40599 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2821 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264216, 216subnegi 10573 . . . . . . . . . . 11 (1 − -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266243, 222syl6reqr 2814 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269260, 268syl6eq 2811 . . . . . . 7 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 6833 . . . 4 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232keepel 4300 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274273a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275274, 274, 25, 198divdird 11052 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 10424 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277syl6eq 2811 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 6830 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 11013 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4237 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2767 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 11357 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288syl6eq 2811 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 6830 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4240 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2798 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 867 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2801 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 6830 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297283oveq1d 6830 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298297adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
2995, 8gtneii 10362 . . . . . 6 π ≠ 0
30042, 299div0i 10972 . . . . 5 (0 / π) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302 iftrue 4237 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303302eqcomd 2767 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304303adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305298, 301, 3043eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306291oveq1d 6830 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307306adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308 4cn 11311 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
309308a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
31042a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
311299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ≠ 0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 11045 . . . . 5 (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313312adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314 iffalse 4240 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315314eqcomd 2767 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316315adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317307, 313, 3163eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318305, 317pm2.61dan 867 . 2 (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319186, 296, 3183eqtrd 2799 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wss 3716  ifcif 4231   class class class wbr 4805  cmpt 4882  dom cdm 5267  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  4c4 11285  cz 11590  +crp 12046  (,)cioo 12389  [,]cicc 12392   mod cmo 12883  sincsin 15014  cosccos 15015  πcpi 15017  cdvds 15203  cnccncf 22901  volcvol 23453  𝐿1cibl 23606  citg 23607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cc 9470  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-disj 4774  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-acn 8979  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-cmp 21413  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608  df-itg1 23609  df-itg2 23610  df-ibl 23611  df-itg 23612  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fouriersw  40970
  Copyright terms: Public domain W3C validator