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Theorem sqwvfoura 40865
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 24330 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10455 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10153 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 39908 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10273 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24332 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10273 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12353 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1381 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 1red 10168 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 10570 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4239 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1816, 17fmptd 6500 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 elioore 12319 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2219, 21ffvelrnd 6475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2423nn0red 11465 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 10183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
2726recoscld 14994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 10183 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
2928recnd 10181 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30 elioore 12319 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3130, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
3217fvmpt2 6405 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
3330, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
341a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
35 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
36 2rp 11951 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
37 pirp 24333 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
38 rpmulcl 11969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3936, 37, 38mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
4035, 39eqeltri 2799 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4230, 41modcld 12789 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
43 picn 24331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
44432timesi 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) = (π + π)
4535, 44eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (π + π)
4645oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
472recni 10165 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4847, 43, 43addassi 10161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4943negidi 10463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + -π) = 0
5043, 47, 49addcomli 10341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π + π) = 0
5150oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5243addid2i 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + π) = π
5351, 52eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = π
5446, 48, 533eqtr2ri 2753 . . . . . . . . . . . . 13 π = (-π + 𝑇)
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5835, 57eqeltri 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
62 0red 10154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
6362rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
65 ioogtlb 40137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6661, 63, 64, 65syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6755, 30, 59, 66ltadd1dd 10751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6854, 67syl5eqbr 4795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6958recni 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
7069mulid2i 10156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
7170eqcomi 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
7271oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7372oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7430, 59readdcld 10182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7662, 34, 74, 75, 68lttrd 10311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7762, 74, 76ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
78 iooltub 40155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7961, 63, 64, 78syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
8030, 62, 59, 79ltadd1dd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8281addid2d 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8380, 82breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
84 modid 12810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8574, 41, 77, 83, 84syl22anc 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
86 1zzd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
87 modcyc 12820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8830, 41, 86, 87syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8973, 85, 883eqtr3a 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
9068, 89breqtrd 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
9134, 42, 90ltnsymd 10299 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9291iffalsed 4205 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9333, 92eqtrd 2758 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9493oveq1d 6780 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9594adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9695mpteq2dva 4852 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
97 1cnd 10169 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9897negcld 10492 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9924adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
10030adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10199, 100remulcld 10183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
102101recoscld 14994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
103 ioossicc 12373 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
104103a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
105 ioombl 23454 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
106105a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10724adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
108 iccssre 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1092, 5, 108mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
110109sseli 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
111110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112107, 111remulcld 10183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
113112recoscld 14994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
114 0red 10154 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
115 coscn 24319 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
116115a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
117 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
118109, 117sstri 3718 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
12024recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 ssid 3730 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
123119, 120, 122constcncfg 40504 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124119, 122idcncfg 40505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125123, 124mulcncf 23336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126116, 125cncfmpt1f 22838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
127 cniccibl 23727 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1283, 114, 126, 127syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
129104, 106, 113, 128iblss 23691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
13098, 102, 129iblmulc2 23717 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13196, 130eqeltrd 2803 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
132 elioore 12319 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
133132, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
134132, 133, 32syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
13540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
136 0red 10154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
137136rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
1381rexri 10210 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
140 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
141 ioogtlb 40137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
142137, 139, 140, 141syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
143136, 132, 142ltled 10298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1441a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14558a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
146 iooltub 40155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
147137, 139, 140, 146syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
148 2timesgt 39916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14937, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
150149, 35breqtrri 4787 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152132, 144, 145, 147, 151lttrd 10311 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154132, 135, 143, 152, 153syl22anc 1440 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 147eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4202 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157134, 156eqtrd 2758 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
158157oveq1d 6780 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
159158adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
160159mpteq2dva 4852 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
16124adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162132adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
163161, 162remulcld 10183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
164163recoscld 14994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
165 ioossicc 12373 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
166165a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
167 ioombl 23454 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
168167a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16924adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
170 iccssre 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1715, 1, 170mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℝ
172171sseli 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
173172adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
174169, 173remulcld 10183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
175174recoscld 14994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
176171, 117sstri 3718 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
178177, 120, 122constcncfg 40504 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 122idcncfg 40505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180178, 179mulcncf 23336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181116, 180cncfmpt1f 22838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
182 cniccibl 23727 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183114, 4, 181, 182syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184166, 168, 175, 183iblss 23691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
18597, 164, 184iblmulc2 23717 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
186160, 185eqeltrd 2803 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1873, 4, 12, 29, 131, 186itgsplitioo 23724 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
188187oveq1d 6780 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18995itgeq2dv 23668 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
19098, 102, 129itgmulc2 23720 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
191 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
192 ioosscn 40136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)0) ⊆ ℂ
193192sseli 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
194193mul02d 10347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
195191, 194sylan9eq 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
196195fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
197 cos0 15000 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
198196, 197syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
199198adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
200199itgeq2dv 23668 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
201 ioovolcl 23459 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
2022, 5, 201mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
204 itgconst 23705 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205106, 203, 97, 204syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
206205adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
207 volioo 23458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
2082, 5, 7, 207mp3an 1537 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
209 0cn 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
210209, 43subnegi 10473 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − -π) = (0 + π)
211208, 210, 523eqtri 2750 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(-π(,)0)) = π
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
213212oveq2d 6781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
21443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℂ)
215214mulid2d 10171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · π) = π)
216213, 215eqtrd 2758 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
217216adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
218200, 206, 2173eqtrd 2762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
219218oveq2d 6781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
22043mulm1i 10588 . . . . . . . 8 (-1 · π) = -π
221220a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
222 iftrue 4200 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
223222eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224223adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
225219, 221, 2243eqtrd 2762 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
22624adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
22723nn0ge0d 11467 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
228227adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
229 neqne 2904 . . . . . . . . 9 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
230229adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
231226, 228, 230ne0gt0d 10287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
232 1cnd 10169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
233232negcld 10492 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
234233mul01d 10348 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
235120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
237 0red 10154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
2387a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
239 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
240239gt0ne0d 10705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
241235, 236, 237, 238, 240itgcoscmulx 40605 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
242120mul01d 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
243242fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
244 sin0 14999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
245243, 244syl6eq 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
246120, 214mulneg2d 10597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
247246fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
248120, 214mulcld 10173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
249 sinneg 14996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
251247, 250eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
252245, 251oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
253 0cnd 10146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
254248sincld 14980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
255253, 254subnegd 10512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
256254addid2d 10350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257252, 255, 2563eqtrd 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
258257adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
259258oveq1d 6780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
26023nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
261 sinkpi 24391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
263262oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
264263adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
265235, 240div0d 10913 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
266264, 265eqtrd 2758 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
267241, 259, 2663eqtrd 2762 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
268267oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
269240neneqd 2901 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
270269iffalsed 4205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
271234, 268, 2703eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272231, 271syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273225, 272pm2.61dan 867 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
274189, 190, 2733eqtr2d 2764 . . . 4 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
275159itgeq2dv 23668 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
27697, 164, 184itgmulc2 23720 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
277164, 184itgcl 23670 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
278277mulid2d 10171 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
279 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
280279oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
281132recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
282281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
283282mul02d 10347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
284280, 283eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
285284fveq2d 6308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
286285, 197syl6eq 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
287286adantll 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
288287itgeq2dv 23668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
289 ioovolcl 23459 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
2905, 1, 289mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
291 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
292 itgconst 23705 . . . . . . . . . 10 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293167, 290, 291, 292mp3an 1537 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
294293a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
29543mulid2i 10156 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
296 volioo 23458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2975, 1, 9, 296mp3an 1537 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
29843subid1i 10466 . . . . . . . . . . . . 13 (π − 0) = π
299297, 298eqtri 2746 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(0(,)π)) = π
300299oveq2i 6776 . . . . . . . . . . 11 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
301300a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
302 iftrue 4200 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
303295, 301, 3023eqtr4a 2784 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
304303adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
305288, 294, 3043eqtrd 2762 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
306262, 245oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
307253subidd 10493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 0) = 0)
308306, 307eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
309308oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
310309adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
311310, 265eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
3121a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
3139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
314235, 237, 312, 313, 240itgcoscmulx 40605 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
315269iffalsed 4205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
316311, 314, 3153eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317231, 316syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
318305, 317pm2.61dan 867 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319278, 318eqtrd 2758 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
320275, 276, 3193eqtr2d 2764 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
321274, 320oveq12d 6783 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
322321oveq1d 6780 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
323222, 302oveq12d 6783 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
324323, 50syl6eq 2774 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
325 iffalse 4203 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
326 iffalse 4203 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
327325, 326oveq12d 6783 . . . . . . 7 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
328 00id 10324 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
329327, 328syl6eq 2774 . . . . . 6 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
330324, 329pm2.61i 176 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
331330oveq1i 6775 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
3325, 8gtneii 10262 . . . . 5 π ≠ 0
33343, 332div0i 10872 . . . 4 (0 / π) = 0
334331, 333eqtri 2746 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
335334a1i 11 . 2 (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
336188, 322, 3353eqtrd 2762 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wss 3680  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  +crp 11946  (,)cioo 12289  [,]cicc 12292   mod cmo 12783  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917  cnccncf 22801  volcvol 23353  𝐿1cibl 23506  citg 23507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-limc 23750  df-dv 23751
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