Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  squeeze0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem squeeze0 11128
 Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
squeeze0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0
StepHypRef Expression
1 0re 10242 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 10326 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 670 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 breq2 4790 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5 breq2 4790 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐴))
64, 5imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
76rspcv 3456 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
8 ltnr 10334 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98pm2.21d 119 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴𝐴 = 0))
109com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
1110imim2i 16 . . . . . 6 ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
1211com13 88 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
137, 12syl5d 73 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14 ax-1 6 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1514eqcoms 2779 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1615a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
1713, 16jaod 846 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
183, 17sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19183imp 1101 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 834   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   class class class wbr 4786  ℝcr 10137  0cc0 10138   < clt 10276   ≤ cle 10277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator