MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcn 24718
Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
sqrtcn (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)

Proof of Theorem sqrtcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 14314 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
32feqmptd 6390 . . . . 5 (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
43reseq1d 5532 . . . 4 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷))
5 sqrcn.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 difss 3885 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
75, 6eqsstri 3781 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
8 resmpt 5589 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
107sseli 3745 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
1110adantl 474 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
12 cxpsqrt 24676 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
1413eqcomd 2775 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (√‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / 2)))
1514mpteq2dva 4875 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))))
164, 9, 153eqtrd 2807 . . 3 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))))
17 eqid 2769 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1817cnfldtopon 22812 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20 resttopon 21192 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
2119, 7, 20sylancl 694 . . . . 5 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
2221cnmptid 21691 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)))
23 ax-1cn 10194 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 halfcl 11457 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
2621, 19, 25cnmptc 21692 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27 eqid 2769 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
285, 17, 27cxpcn 24713 . . . . . 6 (𝑦𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑦𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30 oveq12 6800 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦𝑐𝑧) = (𝑥𝑐(1 / 2)))
3121, 22, 26, 21, 19, 29, 30cnmpt12 21697 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32 ssid 3770 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3318toponrestid 20952 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
3417, 27, 33cncfcn 22938 . . . . 5 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
357, 32, 34mp2an 707 . . . 4 (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3631, 35syl6eleqr 2859 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
3716, 36eqeltrd 2848 . 2 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ))
3837trud 1639 1 (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1629  wtru 1630  wcel 2143  cdif 3717  wss 3720  cmpt 4860  cres 5250  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791  cmpt2 6793  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137  -∞cmnf 10272   / cdiv 10884  2c2 11270  (,]cioc 12380  csqrt 14184  t crest 16295  TopOpenctopn 16296  fldccnfld 19967  TopOnctopon 20941   Cn ccn 21255   ×t ctx 21590  cnccncf 22905  𝑐ccxp 24529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14018  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-limsup 14413  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628  df-ef 15009  df-sin 15011  df-cos 15012  df-tan 15013  df-pi 15014  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16297  df-topn 16298  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-topgen 16318  df-pt 16319  df-prds 16322  df-xrs 16376  df-qtop 16381  df-imas 16382  df-xps 16384  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-mulg 17755  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-lp 21167  df-perf 21168  df-cn 21258  df-cnp 21259  df-haus 21346  df-cmp 21417  df-tx 21592  df-hmeo 21785  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-xms 22351  df-ms 22352  df-tms 22353  df-cncf 22907  df-limc 23856  df-dv 23857  df-log 24530  df-cxp 24531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator