MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlemOLD 15183
Description: Obsolete proof of sqrt2irrlem 15182 as of 4-Jan-2022. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlemOLD (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlemOLD
StepHypRef Expression
1 2cn 11292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2 sqrtth 14311 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((√‘2)↑2) = 2
4 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
54oveq1d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
63, 5syl5eqr 2818 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 11684 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nncnd 11237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119nnne0d 11266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
128, 10, 11sqdivd 13227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
136, 12eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1413oveq1d 6807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
158sqcld 13212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
169nnsqcld 13235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nncnd 11237 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1816nnne0d 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1915, 17, 18divcan1d 11003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2014, 19eqtrd 2804 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2120oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 11314 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2517, 22, 24divcan3d 11007 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2621, 25eqtr3d 2806 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2726, 16eqeltrd 2849 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2827nnzd 11682 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29 zesq 13193 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
307, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
3128, 30mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
321sqvali 13149 . . . . . . . 8 (2↑2) = (2 · 2)
3332oveq2i 6803 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
348, 22, 24sqdivd 13227 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 11033 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3633, 34, 353eqtr4a 2830 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3726oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3836, 37eqtrd 2804 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39 zsqcl 13140 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4031, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4138, 40eqeltrrd 2850 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4216nnrpd 12072 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 12086 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4443rpgt0d 12077 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45 elnnz 11588 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4641, 44, 45sylanbrc 564 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47 nnesq 13194 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
489, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4946, 48mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
5031, 49jca 495 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  cz 11578  cexp 13066  csqrt 14180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator