MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 15097
Description: Lemma for sqrt2irr 15099. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 11206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
21sqsqrtd 14298 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
43oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
52, 4eqtr3d 2760 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76zcnd 11596 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 11149 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108nnne0d 11178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
117, 9, 10sqdivd 13136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
125, 11eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1312oveq1d 6780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
147sqcld 13121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
158nnsqcld 13144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1615nncnd 11149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1715nnne0d 11178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1814, 16, 17divcan1d 10915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
1913, 18eqtrd 2758 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2019oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21 2ne0 11226 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2316, 1, 22divcan3d 10919 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2420, 23eqtr3d 2760 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2524, 15eqeltrd 2803 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2625nnzd 11594 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27 zesq 13102 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
2926, 28mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
301sqvald 13120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
3130oveq2d 6781 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
327, 1, 22sqdivd 13136 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 10945 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2768 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3524oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3634, 35eqtrd 2758 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37 zsqcl 13049 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3936, 38eqeltrrd 2804 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4015nnrpd 11984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 11998 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpgt0d 11989 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43 elnnz 11500 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 701 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45 nnesq 13103 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
468, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4744, 46mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
4829, 47jca 555 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049   · cmul 10054   < clt 10187   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  cz 11490  cexp 12975  csqrt 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  15099
  Copyright terms: Public domain W3C validator