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Theorem sqrlem7 14196
 Description: Lemma for 01sqrex 14197. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 sqrlem1.2 . . 3 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 sqrlem5.3 . . 3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 3sqrlem6 14195 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
51, 2sqrlem3 14192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
65adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
71, 2sqrlem4 14193 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
87adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
98simpld 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10 rpre 12041 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 rpre 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514resqcld 13241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
1611, 15resubcld 10659 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1716adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1815, 11posdifd 10815 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
1918biimpa 462 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
2017, 19elrpd 12071 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+)
21 3rp 12040 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
22 rpdivcl 12058 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
2320, 21, 22sylancl 566 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
249, 23rpaddcld 12089 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+)
2514adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2625recnd 10269 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27 3nn 11387 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
28 nndivre 11257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 566 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3029adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3130recnd 10269 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32 binom2 13185 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3326, 31, 32syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3415adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3534recnd 10269 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 2re 11291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3725, 30remulcld 10271 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38 remulcl 10222 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancr 567 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
4039recnd 10269 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
4130resqcld 13241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
4241recnd 10269 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
4335, 40, 42addassd 10263 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
4433, 43eqtrd 2804 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45 2cn 11292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
46 mulass 10225 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
4745, 26, 31, 46mp3an2i 1576 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
4847eqcomd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
4931sqvald 13211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
5048, 49oveq12d 6810 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51 remulcl 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5236, 25, 51sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5352recnd 10269 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5453, 31, 31adddird 10266 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5550, 54eqtr4d 2807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
567simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57 1red 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58 2rp 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ+)
6014, 57, 59lemul2d 12118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6156, 60mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63 2t1e2 11377 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
6462, 63syl6breq 4825 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
6511adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66 1red 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
6725sqge0d 13242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
6865, 34addge01d 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
6967, 68mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
7065, 34, 65lesubaddd 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
7169, 70mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
7317, 65, 66, 71, 72letrd 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74 1le3 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≤ 3
75 1re 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
76 3re 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
77 letr 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
7875, 76, 77mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
7917, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8074, 79mpan2i 669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8173, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82 3t1e3 11379 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
8381, 82syl6breqr 4826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84 3pos 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 3
85 ledivmul 11100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8675, 85mp3an2 1559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8776, 84, 86mpanr12 677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8817, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8983, 88mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90 le2add 10711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9136, 75, 90mpanr12 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9252, 30, 91syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9364, 89, 92mp2and 671 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94 df-3 11281 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
9593, 94syl6breqr 4826 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
9652, 30readdcld 10270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
9776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
9896, 97, 23lemul1d 12117 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
9995, 98mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
10017recnd 10269 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101 3cn 11296 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
102 3ne0 11316 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
103 divcan2 10894 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104101, 102, 103mp3an23 1563 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105100, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
10699, 105breqtrd 4810 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
10755, 106eqbrtrd 4806 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
10839, 41readdcld 10270 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10934, 108, 65leaddsub2d 10830 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110107, 109mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
11144, 110eqbrtrd 4806 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112 oveq1 6799 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113112breq1d 4794 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115114breq1d 4794 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116115cbvrabv 3348 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
1171, 116eqtri 2792 . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118113, 117elrab2 3516 . . . . 5 ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
11924, 111, 118sylanbrc 564 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120 suprub 11185 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121120, 2syl6breqr 4826 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
1226, 119, 121syl2anc 565 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
12323rpgt0d 12077 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
12429, 14ltaddposd 10812 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
12514, 29readdcld 10270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
12614, 125ltnled 10385 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127124, 126bitrd 268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128127biimpa 462 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129123, 128syldan 571 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130122, 129pm2.65da 800 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
13115, 11eqleltd 10382 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
1324, 130, 131mpbir2and 684 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {cab 2756   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  {crab 3064   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  supcsup 8501  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467   / cdiv 10885  ℕcn 11221  2c2 11271  3c3 11272  ℝ+crp 12034  ↑cexp 13066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067 This theorem is referenced by:  01sqrex  14197
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