Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem5 14195
 Description: Lemma for 01sqrex 14198. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑣,𝑦   𝑣,𝐵,𝑦   𝑢,𝑇,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 ssrab2 3836 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
31, 2eqsstri 3784 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ℝ+
43sseli 3748 . . . . . 6 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ+)
54rpge0d 12079 . . . . 5 (𝑣𝑆 → 0 ≤ 𝑣)
65rgen 3071 . . . 4 𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣
76a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣)
8 sqrlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
91, 8sqrlem3 14193 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣))
10 sqrlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
11 pm4.24 553 . . . . 5 (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ↔ (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣))
12113anbi1i 1160 . . . 4 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) ↔ ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)))
1310, 12supmullem2 11196 . . 3 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
147, 9, 9, 13syl3anc 1476 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
151, 8sqrlem4 14194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
16 rpre 12042 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1716adantr 466 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918recnd 10270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019sqvald 13212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
218, 8oveq12i 6805 . . . 4 (𝐵 · 𝐵) = (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < ))
2210, 12supmul 11197 . . . . 5 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
237, 9, 9, 22syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2421, 23syl5eq 2817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 · 𝐵) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2520, 24eqtrd 2805 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2614, 25jca 501 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  supcsup 8502  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276   ≤ cle 10277  2c2 11272  ℝ+crp 12035  ↑cexp 13067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068 This theorem is referenced by:  sqrlem6  14196
 Copyright terms: Public domain W3C validator