Theorem sqrlem4 14205

Description: Lemma for 01sqrex 14209. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
2		sqrlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
3	2, 1	sqrlem3 14204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
4		suprcl 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl5eqel 2843	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpgt0 12057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
9	2, 1	sqrlem2 14203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		suprub 11196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
11	3, 9, 10	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
12	11, 1	syl6breqr 4846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		rpre 12052	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		0re 10252	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		ltletr 10341	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
17	15, 16	mp3an1 1560	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
18	14, 6, 17	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
19	8, 12, 18	mp2and 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < 𝐵)
20	6, 19	elrpd 12082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	2, 1	sqrlem1 14202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1)
22		1re 10251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		suprleub 11201	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ 1 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
24	3, 22, 23	sylancl 697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 1))
25	21, 24	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 1)
26	1, 25	syl5eqbr 4839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
27	20, 26	jca 555	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  supcsup 8513  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286   ≤ cle 10287  2c2 11282  ℝ⁺crp 12045  ↑cexp 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075

This theorem is referenced by:  sqrlem5  14206  sqrlem7  14208  01sqrex  14209