MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem2 14204
Description: Lemma for 01sqrex 14210. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpre 12053 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgt0 12058 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4 1re 10252 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 lemul1 11088 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
64, 5mp3an2 1561 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
72, 2, 3, 6syl12anc 1475 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
87biimpa 502 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴))
9 rpcn 12055 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 sqval 13137 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
1211eqcomd 2767 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
149mulid2d 10271 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1514adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
168, 13, 153brtr3d 4836 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
17 oveq1 6822 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1817breq1d 4815 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
19 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2018, 19elrab2 3508 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
211, 16, 20sylanbrc 701 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  supcsup 8514  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  2c2 11283  +crp 12046  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  sqrlem3  14205  sqrlem4  14206
  Copyright terms: Public domain W3C validator