Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqor 13018
 Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
21eqeq1d 2653 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2)))
3 eqeq1 2655 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵))
4 eqeq1 2655 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))
53, 4orbi12d 746 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)))
62, 5bibi12d 334 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))))
7 oveq1 6697 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
87eqeq2d 2661 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
9 eqeq2 2662 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10 negeq 10311 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → -𝐵 = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))
1110eqeq2d 2661 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
129, 11orbi12d 746 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
138, 12bibi12d 334 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14 0cn 10070 . . . 4 0 ∈ ℂ
1514elimel 4183 . . 3 if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
1614elimel 4183 . . 3 if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
1715, 16sqeqori 13016 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
186, 13, 17dedth2h 4173 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ifcif 4119  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  -cneg 10305  2c2 11108  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  sqeqd  13950  sqrmo  14036  eqsqrtor  14150  4sqlem10  15698  cxpsqrt  24494  quad2  24611  atandm3  24650  atans2  24703  dvasin  33626  dvacos  33627
 Copyright terms: Public domain W3C validator